SÉANCE DU 3o JUIN I919. l3o7 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur une famille de fonctions rnulti formes, 

 intégrales d'une équation différentielle du premier ordre. ÎNote (') de 

 M. PiKRRE RoLTRoux, présentée par M. Hadamard. 



Dans une précédente Note (-), j'ai indiqué le principe d'une méthode 

 qui permet d'étudier dans tout leur domaine d'existence les fonctions mul- 

 tiformes définies par l'équation différentielle 



(i) zz' --=.Zinz -^ ix^ -\' t)x ^ c. 



J'ai d'abord défini une famille de branches d'intégrales de (i) \premiére 

 famille] représentée au voisinage de l'infini par le développement (^). 



(I ) z ^=: .r- -\- /H .r -\- développ. en puissances de x"^ et (Cj + yji log.r ) x^-^ 



et correspondant respectivement aux difTérentes valeurs du paramètre C, ; 

 puis j'ai exposé comment le problème de la détermination de l'ensemble des 

 branches d'une même intégrale se ramène à l'étude de certaines substitutions 

 fondamentales relatives au paramètre C, , ces substitutions étant elles-mêmes 

 définies à l'aide de certaines branches T^^TÛcnWhvts de fonctions multiformes 

 de C,. La présente Note a pour objet d'indiquer comment ces branches de 

 fonctions substitutrices peuvent être construites et étudiées, et cela tout 

 d'abord pour les valeurs C, de grand module. 



A chaque valeur de C, correspond, d'après nos conventions, une « branche 

 d'intégrale c », branche représentée au voisinage de .r = 00 par le dévelop- 

 pement (') (I) et suivie, à partir de j^ = oc, sur l'ensemble des rayons 

 parallèles à une direction donnée. Parlons d'une valeur C, de grand 

 module (grand par rapport aux coefficients m, h. c de l'équation), .le cons- 

 tate que la branche (') ^(qj correspondant à une telle valeur C, présente 



C) Séance du 2.5 juin 191 9. 



(-') Comptes rendus^ t. 1()8, 1919. p. ii5o. 



(') Dans ce développement, ru est une constante égale à om{c + bni + 2/??-). 



(') Dans le développement (1), nous sommes convenus de toujours piehdri' comme 

 valeur de log.r la valeur dont laipartie imaginaire est comprise entre — /tt ot ir.. 



(•') Pour éviter toute confusion, je conviens, lorsque j'envisage une branche de 

 fonction, et non nue fonction tout entière, de placer un accent circonflexe sur la lettre 

 qui désigne la fonction. 



