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exactement quatre zéros ou points critiques, ayant respectivement pour 

 parties principales les valeurs des quatre racines de x'' + bx- -h 2.cx h- 2C, 

 [et, par conséquent, — si | C, | est très grand par rapport à 6 et e, — les 



quatre racines quatrièmes de — 2C, J. 



Entourons ces racines de cercles y,, ..., y, de rayon 1^',|" (a positif, 

 arbitrairement petit si |C,| est arbitrairement grand). Puis décrivons, à 

 partir de ^ = ce, quatre lacets fermés F,, ..., F^, enveloppant respective- 

 ment les cercles y,, . . ., y,, (lacets composés, chacun, d'un chemin rectiligne 

 parcouru deux fois et du contour de l'un des cercles). Les quatre lacets 

 échangent la branche z initiale avec quatre branches qui, au voisinage de 

 ^ = DO, ont pour partie principale — x'- [et appartiennent, par conséquent, 

 à la deuxième famille de branches (') définies dans ma précédente Note], 

 et dont chacune présente à son tour (si on la suit sur l'ensemble des rayons 

 issus de j? = ce) quatre zéros ou points critiques ; l'un de ces zéros coïncide 



avec un zéro de ^ ^j ; les trois autres sont nouveaux; mais, si |C,| est assez 

 grand, ils sont respectivement situés à l'intérieur des cercles y relatifs aux 



zéros de ^(0) : en sorte que les mêmes lacets F,, . . ., F^, qui ont permuté ^(o) 

 avec quatre branches nouvelles, vont permuter à leur tour ces quatre 

 branches avec douze autres branches nouvelles; et ainsi de suite. 



Considérons, en particulier, les circuits formés par les combinaisons de 



lacets (F,, F.), (F,, F3), (F,, F,,). Ces circuits permutent 5,(„ avec de nou- 

 velles branches de la première famille et, par conséquent, C, avec trois 

 nouvelles valeurs de C, (soitC,,, ..., Cis). Ces dernières sont telles que 

 les rapports C, , — CjC,, etc. soient arbitrairement petits en même temps 

 que Cj^ Le calcul montre d'ailleurs qu'elles sont définies en fonction de C, 

 par les égalités 



(2) Cii=Gi+3ot/ zcLv, ..., 0)3:= Cl 4- 3 //i / zclx, 



Z' étant l'intégrale de (i) qui coïncide avec ^(o) à l'origine commune des 



circuits (F,, F^), etc. Désignons par 'sp,(C,), ...,',{;.; (C, ) les trois branches 

 de fonctions définies par les seconds membres des égalités (2) lorsqu'on y 



C) Branches représentées par le dévelojjpemenl ^ r^ — ,r- + n.v + développement 

 en puissances de a'~^ et de (Co+ r., 'o»-^)-^ "'• 



