SÉANCE DU 3o JUIN I919. l3o9 



remplace C, par C, et que l'on fait varier C, en ligne droite à partir de 

 C, = ce. 



Nous constatons alors que l'on peut trouver un nombre positif K assez 



grand pour que : 1° les trois branches de fonctions '.p,, ..., 'j/3 soient sûre- 

 ment holomorphes dans la région c^ du plan G, limitée par le cercle |C,1 = K 

 et par une coupure rectiligne arbitraire joignant le contour de ce cercle 

 à C, = 00 ; 2" il existe un nombre £ arbitrairement petit avec K-' tel que, 



si I C, I > K(i -f- £), les branches de fonctions inverses de '\/^, ... , '\^3 et les 



branches de fonctions >{;, |4'j(C,)j, ..., obtenues en superposant un nombre 



borné de fonctions '\j et fonctions inverses, soient toutes holomorphes 

 dans Si. Nous désignerons par C'j l'ensemble des valeurs de C, que l'on 

 peut ainsi déduire d'une valeur initiale de C, située dans Si, en opérant des 



combinaisons quelconques des substitutions |C, , '«|;,(C,)J, ..., [C,, 'j/.,(C,)J 

 et de leurs inverses, et sans jamais faire sortir C, de Si (^). 



Revenant maintenant à notre définition générale de la « branche z » pour 

 une valeur quelconque de C,, appelons point critique de la branche tout 

 point critique rencontré sur l'ensemble de rayons (issus de a? =r ce ) qui 

 définit la branche. On déduit de ce qui précède que, si K est assez grand, 

 on peut définir dans le plan x une certaine aire -^ (contenant les racines du 



polynôme ix'^ -\- bx -\- c) telle que toute branche z qui présente au moins un 

 point critique à l'extérieur de A> corresponde à une valeur de C, de module 

 supérieur à K (intérieure à Si). Considérons alors, dans le plan a;, un cir- 

 cuit fermé quelconque, issu de x = oc, tout entier extérieitr à Caire A>, et 



échangeant deux branches z de la première famille, par conséquent deux 

 valeurs de C,. L'ensemble des circuits répondant à ces conditions per- 

 mute C, avec un ensemble de valeurs G"; je constate que ces valeurs G" sont 

 toutes comprises parmi les valeurs G'j définies plus haut. En d'autres 

 termes, V ensemble total des valeurs d^ G,, appartenant à une même intégrale, 

 que V oji peut déduire les unes des autres en faisant varier x arbitrairement 

 mais sans pénétrer dans ci, peut être obtenu par multiplication des trois substi- 

 tutions fondamentales [G,, v};,(C,)|, ... et de leurs im 



werses. 



(^) J'enlends par là que les diflTérentes valeurs de Cj qu'échangent les substitutions 

 successives, dont est composée l'une quelconque des combinaisons envisagées, sont 

 toutes intérieures à Si. 



