RICERCIIE SOPR.V ALCLNE SERIE ASTRONOMICllE. 103 



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Sopi'ii le differenzkdi delle potenze dei seni e coseni. 



Prima di islituire I'indaginc sullc forme general! dcllc seric, clic formano il 

 soggelto delle segucnli riccrchc, c opportune prcmellerc I' esposizioiic di una 

 pro|)ricla spcllanle alia teorica delle fiuizioni circolari, di cui si farii uso nel 

 seguilo. 



fi nolo clie lo sviluppo della polenza n"'"" di sin z procedc pei coseni dei 

 inullipli dell'areo z, quando il numoro inlero n sia pari; c proeede pci seni 

 dpi inullipli di z^ quando n sia dispari. Lo stesso vale per lo sviluppo del 

 prodollo sin"2r cos (/2; , ovc 7 sia numcro intcro. Si vuol ora dimoslrare clie 

 airinconlro la diffcrenziale (ji — ijosima j^Hq stesso prodollo e sviluppahilo pei 

 seni dei multipli di z, eomunque n sia pari dispari. Se si |)one per brc- 

 vita n — i{in-h i)-\- (J rza , n — ii{ni-\-i) — ^ :=: /S si vuol provarc che, qua- 

 lunque siasi n, si lia 



-^^^ |(«+<7)"-' sill (« + (/)! 4- (/t — ^)"-'siii {it—q):A 



il"~' siii"3 cos q: 



dz"-* 2' 



(0 



I . nln — 1) ... (11 — in) \ , . r , . ^ I 



-[ II— 1)'"+'— ^ ^{a"-'sinaz + p"-'siUiSrJ 



ove la sommaloria designala eon - deve prcndersi per lulti i valori di 



I 

 m rz o , 1.2 indeOnitamcnte, ossia deve pigliarsi da mz^o ad m zr -.. 



Inl'alli e nolo che per n nuinero pari si ha 



n 



sin"rrr — (cosnr. + ll — i)'"*"' ^^ cosn:} W 



■J." } I .-i .... {tn -+- i) \ 



e per n numero dispari si lia 



sin nz +1(— i)'"*' — 5^ ^ — sii. ar} (i) 



II — 1 



2" 



essendo a rr ;j — 2 («» 4- 1 ) , cla 3 essendo presa da "» zr o ad m — n — 1 , 



o, cio chclornalo slesso, da m^o ad mi^i- , giacchii i lermini dovuli a 



o 



valnri di /» :-> n — 1 scompajono per si slessi. 



