RICERCIIF, SOPRA ALCINE SERIE ASTRONOMICHE. 105 



AH'inconlro , menlre la polcnza n'*'"'^ di cos z c rapprcscntata, come e nolo, 

 da una esprcssioiio unica sussistciUo per qualsivoglia valorc pari o dispari 

 di n, lo sviluppo dclla dilTei'L-nzialc (« — i)'^"""' di cos": sin ^z forniscc una 

 cspressione clie cambia secondo ciic n 'v. pari o dispari , assumendo forme 

 analoglic a quelle clie lianno luogo nello sviluppo della potenza ji"""^ di sin z . 

 Infalli , qualunquc siasi n, ed esscndo «=:« — i[m-^\) si ha 



, ^"("— ') •■■ (" — m) ) ■ 



= +- ; ; — J— cosaz (4) 



I . 2 .... (nj+ i) ) 



Se si molliplica questa espressione per sin^z, ed i prodoUi del scni per co- 

 scni si riducano a scni dellc dilTerenze dcgli arclii, e si prenda d'ambi i membri 

 la difTercnzialc (/i — ,p™:'^ avendo quindi riguardo clic per n pari si lia 



rZ"-' sin/jz i . , , 



— — i)^* /i"-'cos/jz 



dz 



c per n dispari risulta 



fi"-'sin/iz oni . , . , 

 nz ( — i) -^ /i"-' sin/iz 



n — 1 ^ ' 



d 

 si otlcrra ncl caso di n pari 1' espressione 



" [(«— (7)"-'cos(ra— (/)z— (rt+^)"-« cos(« + 9)^^-^ 

 fi"-' cos"z sin (/z ( — i)'M ' -" «^ / 



[n — i)....(rt — I 

 1 . 2 .... {in -\- 1 ) 



"" - / N ^^1 1 cospz — a" ' cos a z) l 



e per »i dispari 1' espressione 



"-< [ (".+ 7)"~' sin(«-|-^)z — (rt — </)"T.' sin (/i — <y) 

 ^/"■~' cos"z sin <yz ( — J I 



n{n — i) .... (n — m) 



dz—' — 2"-' Vlir ^Illil :::i(a''-'sinaz— i3"-'sin/3z) 



I 1.2 .... (m -4- 1 ) J 



ove a,/3 hanno le gia stabilile significazioni. 



Si potrebbcro combinarc queste cspressioni collacquazione (1) perottcnerne 

 relazioni fra Ic dilTercnziali di funzioni circolari, che in niolli casi tornano utili 

 a compendio di calcoli; ma non dovcndo qui fame uso per le ricerche, di cui 

 mi occupo , ometlo di fame parola. 



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