432 INTORNO ALL A MEMORIA DI ABEL: SUR UNE PROPRltTt; GfiN. 



i;li argomeati t, , x x,„ , espressa per una funzionc finita c per In 



soniiiia (li u. — Hi iiitcgrali di cui gli argoinenti sono .t,„+, .r^ , eppero 



funzioiu (lelle a-, , jj .... x^ . Cercliianio quale dehba esscro la funzione 6 [x, y) 

 perclie il uunioro fji — m sia il niiuore possibile. Dalla equazione 'k[x , y) ^0 

 si desvunano i valori di y cspressi per serie ordinate secondo Ic polenze di x 

 e si abbiano 



uu luunero /., = », [j., di valori !/^ dei quali il grado rispetto ad x sia — = p^ 

 fi\ — «2 [X, y^ ^^= pj 



'•a = ?'a [>■„ y«. V^ —^^ 



essendo »«,, [x,, jn^, [x^ numeri interi primi fra loro: e 



A-, + Aj .... + h\, = n 



sara p. = k^ grad . 0{x, y,) + k^ gr ^{x, y.,) -+- .... -+- k^ gr 6(ar, y^) . 



Se e(a;, y) = q^+ q^y + q^y^ .... -f q^y^ .... + ?„_,»/""' 



sara w = f/r ^^ + fl(r ?, + gr q.^ .... + j/r q„_i + m — 1 



e pero 



(a) <J.-m — \k^gl•^{x,y^) + k.,gr ^{x,y.^) +....J — jgrr^o + .^r g, ....| - h+ I. 



Supponiamo p, <p., < p., .... < pa e scriviamo i gradi rispetto ad x dei ter- 

 mini successivi delle funzioni 



(6) 0(x, »/,) die sono grq^, grq^+ p,, grq,^ 2p,, .... r/c5's+ 6p,, .... grq„_^+ («-!)?, 



0("C, 2/4) ^'''/o' .'/'■'7i+ P2' 5"'?-2+ 2p,, .... grq^+ 6p.^, .... r/r y„_,+ (« - I ) p.^ 



6 (■'", //r) r/'''?,)' (irq(+ p,, ,9"''7j+ 2p,,, .... grq^^ 6p,, .... firr 9'„_,+ [n - 1 ) p. 



Se fosse grdix, y^) =z gr q^ + 6p, non < gr q^_^ + (6— y)p,, onde grqt, 

 + Yp, non <:grqe-„ qualunque sia y<6, sara ancora gr qs + yp; non 

 <. gr qz-^ il grado di nessuna funzione Of.r, ?/,.) verra espresso da termini 

 della serie (6j che precedono quclli dipendenti dal numero gr q^ , e nel valore 



