8 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



OU bien, vu finalement (4), 



W = «p H tangcp =rcp+ y :=cp-i- -z (cfi — w). 



2 4 4 



En retranchant w de part et d'autre, il vient donc, pour relier $ — oi 

 à !p — CD, la formule simple 



5 A 



(6) $ — w = -t(9 — 6J) ou <p — u=^(4> — w). 



III. La limite inférieure k^ du coefficient cherché K étant ainsi exprimée 

 par le dernier membre de (5), la limite supérieure k, que nous tirons éga- 

 lement de l'hypothèse ^, = (p, s'obtiendra par les mêmes formules, mais 

 où ce sera O, devenu différent et que nous appellerons $', qu'on fera égal 

 à l'angle de frottement donné. Et il lui correspondra de nouvelles valeurs (p', 

 a', o', k, de ç, a, o, kg, reliées à cd et à$' de la même manière que cp, a, S, k^ 

 le sont à w et à $ par les formules ci-dessus. On aura notamment, à raison 

 de la dernière (6), 



(7) a' ou cp'— (0 — t(4>'— o) = pa, 6' == i / — col 9' = 1 /-^ a cotw, 



A- = (cos-ùj) (1 — 2 y/aoc' tangto) = (cos^w) ( 1 7=V^2« tangu ) . 



Enfin, la comparaison de la formule (5) de k^ à celle-ci de k montre que 



(8) — ; — - = ( I j= I 2 ^/aa tangw = (o, 21 1 1) y/aa tangco, 



rapport de l'ordre de petitesse de \fôi. 



IV. Voyons maintenant ce que sera la limite supérieure k' la plus petite 

 possible, exprimée par le minimum du second membre de (3). La parité 

 des deux équations (i) qui définissent £ et le complément de oj' montre que, 

 vu les petitesses de cp — w et de $ — 9, £ s'exprimera en 9 et $ comme 



(- — (o' j s'est exprimé ci-dessus (II) en co et f. Il faudra donc faire tout 



à la fois, dans (3), 



(9) w'=y'2(cp — w)C0tCp, £ = V'2(4>— (p) col*. 



Or $ doit être, ici, pris égal à l'angle de frottement donné et la diffé - 



