24 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



et 



m = » 



(2/.)^'(/»^— 2^)(/»^— 4=)...[m^— (2/. — 2)-] 



V (2/.)^ /?«•=— 2-) /«-— 4- ...lOT^— 2/. — 2)- , , N / -^ 



(9) -2 2j -^ ^J„,(/".r,.m.f,. ...,/«x„) (/«pa'O- 



m 



111=1 II 



m = oc 



-^ 2/,— 1 ' «H— 1- /?i= — i= ...lm=— 2/,— a)= , , N / • •\ 



(10)2 2j — ~ TT-^ ^^ ^J,„(mj:,,/«xj, ...,mx„) (w impair), 



m 



iii=ik — i 



• sont égales à des polynômes en a;,, x.,, . . ., x^. En effet, d'après (i) et (2), 

 la série (6) est égale à Vk{x^^ x.^, r„). Les séries (7) et (8) repré- 

 sentent des polynômes u.,;,{œ,, x^, . . ., x„) el u.2,i-,(Xf, x.,, ..., a;„) respec- 

 tivement de degrés 2k et 2/- — i qui vérifient la relation -7-^ = Xm/(_, (') et, 

 comme les fonctions J,„(a;,,.r-2, . . .,a;„) elles-mêmes, les équations suivantes: 



Oh,,, _ (Pu,, , à' a, C-) 



du,, _du,, {lp-~lY—J-' àUlk [(2/» — 1)^— I^][(2y0 — ])'— 3-] O'u, 



dx^p-t da.\ 1.2.3 dx\ 1.2. 3. 4. a dx\ 





En s'appuyant sur ce que les séries connues^^ ^(/wpair) etV 



m' 



III = 1 



(7/2 impair) sont égales à des polynômes en çp, on trouve que les séries (g) 

 et ( I o) représentent des polynômes M ../((a;,, £t\,, ..., x^e\.^^\k-\i^^^,^i^^ •■^n) 

 en x^^ X.2, ..., x,^. En remarquant que 



III = 00 



=; 1 4- 2 ^ I,„ (m.r,, «ijTj, ..., inx„) coswÇ, 



1 — Xi cos /( — Xj cos 2 M — ... — .r„ cos 



m= 1 



OÙ 'C=^u — X, ûnu — — sin2« — ... ^sin^M et \x.\-\-\x.A-^ ... + \xl\<'\. 



,J,y-{m---2'')(fn--^-)...\m"--^(il^-'^Y] _ 



*=i 



(2A- — i)^(m-^-i = )(m2-3'-)..-['«--(3/. -3)-] ,3, , • 



^^ ^— ^ '-^ —-!■ 1 :^ LJ — , (3) („j impair), 



( ' ) Api'F.i.i-, Annales de l'Ecole Normale, 1" série, l. !), 1880. 



(') kvpt.\x, Comptes rendus, t. 160, 191 5, p. 422. 



(') Kai'TEYn, Annales de l'École Normale supérieure, 3= série, l. 10, 1893, p. 1 18. 



