SÉANCE DU 9 JUILLET 1917. 55 



fiques touchent à leur fin et demande que l'Académie procède d'urgence à 

 une nouvelle élection. 



L'élection est fixée à la prochaine séance. 



M. le Secrétaire perpétuel signale, parmi les pièces imprimées de la 

 correspondance : 



Le Tome I du Cours de Géométrie pure et appliquée de VÉcole polytech- 

 nique, par Maurice ii'Ocagne. (Présenté par M. le général Bourgeois.) 



GÉOMÉTRIE. — Sur les courbes tautochrones . . 

 Note (') de M. A. Thybaut, présentée par M. P. Appell. 



L'objet de cette Communication est la détermination et l'étude de 

 toutes les convhes planes ou gauches qui sont tautochrones pour une force 

 centrale proportionnelle à la distance; nous les appellerons plus simple- 

 ment les tautochrones. 



Dans un Mémoire classique {Journal de Liouville^ l™ série, t. 9), 

 Puiseux a traité le cas où les courbes sont situées dans un plan passant par 

 le centre des forces; elles comprennent alors la droite, la spirale loga- 

 rithmique, une autre spirale particulière, l'hypocycloïde et l'épicycloïde; 

 mais, à notre connaissance, aucune recherche générale des tautochrones 

 gauches n'a été publiée jusqu'à présent. 



Voici le résultat auquel on parvient : 



Si l'on prend pour origine le centre des forces O, on peut exprimer, sans 

 aucun signe de quadrature., les coordonnées d'un point quelconque d'une 

 tautochrone en fonction d'un paramètre; elles dépendent d'une fonction 

 arbitraire de ce paramètre. 



Les tautochrones possèdent quelques propriétés caractéristiques qui 

 généralisent certaines propriétés bien connues des tautochrones planes et, 

 en particulier, des épicycloïdes : 



1° Les tautochrones sont les courbes telles que chacun de leurs points et le 

 point correspondant de l'une de leurs développantes soient conjugués par 

 rapport à une sphère fixe S, réelle, de centre O. Cette sphère passe par le 



(') Séance du ?. juillet 1917. 



