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le point de tautochronisme; lorsqu'elle a un rayon nul, les tautochrones 

 sont les courbes qui coupent sous un angle constant les génératrices des cônes de 

 sommet O. 



2° La sphère S intercepte sur chaque tangente à une taulochrone, à partir 

 du point de contact M, deux segments MP, MQ dont le rapport A est constant. 

 Ce rapport est un nombre réel, fini, différent de o et de — i, ou bien un 

 nombre imaginaire de module i. Les tautochrones correspondant à l'hypo- 

 thèse K = I sont les géodésiques des cônes de sommet O. 



3° Considérons, en chaque point M d'une tautochrone, le plan tangent 

 qui passe par O et la normale en M située dans ce plan. Il existe une 

 sphère S' de centre O, qui intercepte sur chacune de ces normales deux 

 segments MP', MQ' dont le rapport est constant et égal à — A. Lorsque 

 A a la valeur i, le rayon de la sphère S' est infini; la réciproque est alors 

 en défaut. 



En particulier, si À est réel, la sphère S' est réelle; le point M est situé sur deux 

 sphères réelles dont les rayons sont constants et qui sont tangentes aux sphères fixes S 

 et S', l'une aux points P et P', Taiilre aux points Q et Q'. Les deux sphères variables 

 occupent donc la position des deux cercles variables qui interviennent dans la double 

 génération des épicycloïdes. 



4° Les plans osculateurs à une tautochrone gauche déterminent sur la 

 sphère S un faisceau de circonférences ; sur les deux courbes sphériques qui 

 constituent l'enveloppe de ces circonférences les arcs correspondants sont dans 

 un rapport constant et égala A. La droite qui joint les points correspondants 

 des deux courbes sphériques est tangente à la tautochrone. 



Parmi les tautochrones, on trouve une infinité de courijcs planes; elles sont situées 

 dans chacun des plans qui coupent la sphère S ou qui lui sont tangents. 



Il y a aussi une infinité d'hélices ; elles sont tracées sur des quadriques de révolution 

 circonscrites à la sphère S le long d'un parallèle réel; l'hélice circulaire en fait partie. 



Nous réservons pour un Mémoire détaillé les développements et les 

 généralisations. 



