SÉANCE DU l6 JUILLET 1917. 97 



série conjuguée, nous avons l'identité de M. Fejér 



(F) ^<.-(^):=^;o)(^) + ^. 



II en résulte immédiatement l'identité suivante : 



(F') ^r(^) = ^;r'(.o + (^) • 



Supposons que la série donnée soit convergente dans l'ensemble M 



de mesure m, w>o. Alors ~ — - tend vers zéro avec - presque partout 



dans M, comme je l'ai démontré dans la Note citée. 

 Dans cette hypothèse, l'identité (F') revient à 



iim[ff,/"(^) — (T;r"{x)] = o 



presque partout dans M. 



En donnant à p des valeurs q, q — 1 , . . . , 2, i , nous avons la proposition 

 suivante : 



I. Soit'S A„(x) une série trigonoinètrique qui est convergente dans l'cn- 



" = i « _ 



semble M de mesure m, /» >o; pour que la série conjuguée V A„(a-) soi/ 



convergente presque partout dans M, il faut et il suffit quelle soit sommable 

 par le procédé de Cesàro d'ordre quelconque q presque partout dans M. 



GouoLLAUiE. — Soit V A„(.r) une série trigonomèlrique qui est convergente 



dans V ensemble M de mesure m, m > o ; pour que la série conjuguée V A„(a;) 



soit convergente presque partout dans M, il faut et il suffit quelle soit som- 

 mable par le procédé de Riemann presque partout dans M . 



D'après le théorème I, nous pouvons résoudre le problème posé pour le 

 cas où la série donnée est une série de Fourier d'une fonction sommable 

 arbitraire. A cet effet, nous utiliserons la proposition suivante : 



II. Soit "y A„(a;) une série de Fourier d'une fonction sommable f{x); la 



