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série conjuguée ''^A„(.r) est sommahie simuUanètnent par les procédés de 



Poisson el de Cesàro d'ordre -i presque partout sur le segment o'^x'Sir. et 

 représente 



"/(.i'-l-<z)-/(.r-a) 



^■(-) = ^ / 



a 



2 tatiir — 

 ' 2 



dy.. 



.T. ,~ 



l'intégrale j étant définie comme lim / - 



Démonstration. — C-onsidérons une fonction, holomorphe dans l'inté- 

 rieur du cercle C, de rayon i , 



V{z) = V(rj, x) + i()\p. x), 

 où l'on a posé 



./■( x^a) ., "" '" ^ da, 



_^ ' I -H p- — 2p COSa 



/; = 1 



• (J(p.a;)=2p''A„(.r) et s = p.e"-. 



On verra sans peine qu'on peut, sans restreindre la généralité, supposer 

 ./(^) = o et, par conséquent, P(p,;c)>o. En vertu d'une proposition dé- 

 montrée par M. Fatou, Q(p, x) tend vers la limite g{x) quand p tend 

 vers l'unité presque partout sur la circonférence o£.r<2Ti. 



On peut écrire 



f{x + a)-f{x-a) 



'^1 



o- — 2p ces a 



-•Il 



* 1 r- — I — rf I / r v rf 1 



a. 



1 I a n ç; — 



' 2 



■37ïJ^ "^ ' I -H p-— 2p COStZ I — cosa 



:= Ji(.t.') 4- J2(j-) + J3 {x) (on pose i — f- = s). 



On établit, après quelques calculs, que 



lîrn J, (.î) = o, lini J3(a;) := 



£=0 i— 



presque partout sur le segment o'S^x'iit.. Par conséquent 



1 1 ni - / ^!— —^ dx 



::,J 



6 = ~ f , ^ 



2 tan" — 



