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toutes les théories classiques sur la transformation et l'intégration des sys- 

 tèmes canoniques. Il suffit, par exemple, de chercher les formules (i) sous 

 la forme explicite des transformations canoniques 



(^) y'~d^; '"'^-^H (/.•-., 2.. ..,,0 



(qui résulte immédiatement de leur définition), pour être conduit à l'équi- 

 valence du système (2) et de l'équation aux dérivées partielles d'Hamilton- 

 Jacobi. Si l'on cherche à déterminer les formules (i)par les relations de 

 crochets qui les caractérisent, on obtient aussitôt la seconde méthode d'in- 

 tégration de Jacobi. La théorie des groupes de fonctions, de S. Lie, se pré- 

 sente aussi naturellement, quand on applique, à la discussion des méthodes 

 d'intégration, les notions de groupe de rationalité et de groupe spécifique (' ). 



2. La même propriété fondamentale peut être utilisée avantageusement 

 dans la recherche des développements en série de la théorie des pertur- 

 bations. Soit alors 



(4) F:=F„+iiF,+ -i^F, + ..., 



I 1 . 2 



u. étant le paramètre au moyen duquel on met en évidence Tordre de gran- 

 deur des termes du développement de la fonction perturbatrice, relative- 

 ment aux masses. Les variables a;,, ..., Xj, sont proportionnelles aux racines 

 carrées des grands axes: y,, ..., y^, sont les longitudes moyennes; enfin 

 .T^H-, , . . ., x„\ yJ,^.^, • ■ ■,y„ sont les éléments excentriques et obliques. F„ ne 

 dépend alors que de a-,, ..., Xj,; F,, Fo, ... sont des séries entières en 

 e*'*', . . ., e-'^/>; XJ,^^, ..., a„; JK/h-u • • •> .>'«> dont les coefficients dépendent 

 ue Xf , . . ., .x'j,. 



On obtiendra les intégrales (i), développées suivant les puissances de [j., 

 en intégrant, par l'algorithme taylorien, un système canonique auxiliaire 



dxt dH dvk d)A 



(5) — — = - — , — _ = j — (A- = I, 2, . . .. «), 



avec les conditions initiales qui donnent, pour u. = o, le mouvement ellip- 

 tique 



( 6 ) ,;■/. = .rj;. , J^. = _ _^ / .+- yf , j.^,_^^, = ^»^,,, y^^^,^ = y 0^^^ 



(') Annales de r/icole Normale supérieure^ 3" série, t. 29, p. ■?! 1. 



