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OÙ l'on doit, dans le second membre, faire .T/,= a;" (/• = i, 2, ..., n); 

 -A- = yl (/i- = 1 , 2, ...,/)); V/H-A = xUa (A = 1 , 2, . . . , n - /;). 



Celle formule, 1res simple quand on s'arrête, comme nous le faisons ici, 

 aux termes en [x^, a, sur l'emploi de la méthode classique, l'avantage de ne 

 pas nécessiter des changements de variables successifs. N'introduisant que 

 des crochets, elle permet le passage immédiat d'un système d'éléments 

 canoniques à un autre. Elle met en évidence les propriétés classiques des 

 développements des éléments canoniques : le théorème de Poisson, sur 

 l'invariabilité des grands axes, en est une conséquence immédiate. Elle 

 paraît aussi devoir être avantageuse pour les calculs pratiques, car elle per- 

 mettra de prévoir à l'avance les termes du développement de la fonction 

 perturbatrice devant fournir, dans les développements des éléments, des 

 termes d'un type donné. 



THÉORIE DES NOMBRES. — Sur le développement en fraction continue 

 d^une irrationnelle quadratique. Note ( ' ) de M. Amsler, transmise 

 par M. G. Humbert. 



1. Rappel de résultats connus. — Soit y(^, i) =^ az" -\- ibz -\- c =^ o une 

 équation à coefficients a, h, c entiers, ayant une et une seule racine posi- 

 tive w, ce qui entraîne ac <^ o. 



Une méthode connue permet d'approcher de co par une suite de fractions 

 successives, en partant des fractions - et -; si /> : ^ est la dernière fraction 

 écrite, et p' : q' la dernière fraction approchée de co dans l'autre sens que 

 p: q,{& fraction qui suivra p : q sera la médiante, (p+/>'):(?"*~ •/ )' ^nlre 

 p:qelp:q'. 



Il est clair que le calcul des termes successifs de la suite doit se combiner 

 avec celui des expressions telles que /(p, q), puisqu'il est nécessaire de 

 connaître l'ordre de grandeur des/> : ^ et de co. 



Soit par exemple l'équation 3s- -f- 8s — 7 = o; les calculs sont les sui- 

 vants, si l'on écrit sur une première ligne les /{p, q) et, sur une seconde 

 ligne correspondante, les p : q : 



(') Séance du g juillet 1917. 



