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etii.de manière à introduire deux variations, ii, —3, 12, d'où r=ii\, 

 r = — 3, 7"= )2, et la formule (4) donnera immédiatement 



,■"'=,8 — 11 = 7. 



On a ainsi un moyen rapide et direct de former la suite (i) seule; on en 

 déduit immédiatement la suite (2), ou, si l'on préfère, la caractéristique 

 de w, c'est-à-dire son développement en fraction continue. 



Un procédé analogue est applicable aux irrationnelles cubiques. 



3. Autres propriétés des groupes d''inde.r. — Trois entiers r, ?-, , /.j, de 

 somme paire, dont les deux premiers sont de signes contraires, engendrent 

 une suite d'index, qui régit le calcul de la racine positive de l'équation 



(5) /'S-H- (/•,— /•, -H /•)- + ''1= O- 



Les groupes d'index se reproduisent périodiquement dès le premier; la 

 suite des index est périodique, au moins à partir du troisième. 



Parmi les deux groupes r, ;•, , r„ et r, , r, r.,, un seul admet un précèdent^ 

 c'est-à-dire est au moins le deuxième d'une suite de groupes d'index con- 

 tigus. 



Supposons que le groupe r, /•,, r„ admette un précédent; calculons la 

 racine positive de (5) : nous sommes conduits à une cliaîne périodique de 

 groupes d'index contigus, p, p,, p,, chaîne que nous appellerons un cycle, et 

 nous dirons que les formes 



(6) pa.---t- (p,— p,^-p).rJ + p,y■ 

 SOnt rattachées à ce cycle. 



Les formes rattachées à un même cycle sont équivalentes (proprement 

 ou improprement) les unes aux autres. 



Dans les formes (6) rattachées à un cycle, faisons la substitution 



|.r,j; X, -Y| 

 ou la substitution 



|.r, r;Y, -X|. 



selon que la suite p, p,, p^ présente une ou deux variations; les formes 

 obtenues, écrites en ordre inverse, sont rattachées à un cycle, dit conjugué 

 du premier. 



On déduit de là, entre autres conséquences : le théorème de Lagrange sur 

 la périodicité des quotients incomplets de w; la condition d'équivalence 

 (propre ou impropre) de deux formes réduites [la forme (a, b, c) est réduite 



