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IV. Les mesures des ensembles de -'f sont complètement déterminées par 

 les conditions précédentes. 



Si une famille satisfait à ces conditions, sauf à la deuxième (B) relative à 

 la somme d'une infinité dénombrable d'ensembles, elle est dite semi-mesu- 

 rahle; mais dans le cas d'une telle famille on peut affirmer que, pour cer- 

 taines sommes d'une infinité énumérable d'ensembles, la précieuse pro- 

 priété subsiste. 



Dèfinilions . — Un ensemble non borné constitue un milieu. TJn milieu 

 admet la période de translation h si le déplacement h le superpose à lui- 

 même. Un milieu est de translation lorsqu'il admet des translations h„ for- 

 mant une suite qui tend vers zéro. Un cas particulier remarquable est celui 

 où le milieu admet pour période la différence d'abscisses de deux quelconques 

 de ses points; j'appelle un tel milieu homogène; à un changement d'origine 

 près, c'est un module de points. 



Un milieu de translation est la somme de milieux homogènes, de même 

 module de périodes; et réciproquement. 



Résultais. — Aux ensembles bornés situés dans un même milieu de trans- 

 lation s'applique soit la méthode de M. Jordan, soit celle de MM. Borel et 

 Lebesgue. On forme ainsi une première espèce de familles mesurables ou 

 semi-mesurables. 



Une deuxième espèce est constituée par les systèmes de milieux homo- 

 gènes deux à deux commensurables. Contrairement aux conventions faites 

 ailleurs il a fallu donner ici des mots dmseiir et multiple des définitions 

 conformes à celles en usage dans toute théorie de mesure de grandeurs; 

 toute confusion est d'ailleurs évitée. De ces familles de milieux homogènes 

 on passe ensuite à certaines familles de milieux plus généraux de translation : 

 soit A un ensemble de points tel que la différence des abscisses de deux 

 quelconques d'entre eux n'est jamais une période d'un milieu homogène M 

 de la famille 5 donnée; les translations de chaque M engendrent à partir 

 de A un milieu N (que l'on peut déplacer), dont l'ensemble est une 

 famille ç, mesurable on semi-mesurable en même temps que §. 



lùivisageons enfin une de ces familles g. A chacun des milieux dont elle 

 se compose sont attachés des ensembles bornés qui forment une famille de 

 première espèce. D'elles toutes constituons une collection uni(iue. Elle 

 est, elle aussi, mesurable ou semi-mesurable et peut même encore 

 s'adjoindre de nouveaux ensembles. 



