SÉANCE DU 23 JUILLET 1917. l4'i 



Exemples. — F. Soient des nombres premiers^,, yOo, .. .,/;„; le milieu con- 

 stitué par les rationnels qui, irréductibles, admettent au déterminateur ^,, 

 ^2, ••., /)„jusqu'aux exposants niaxima respectifs a,, aj, ..., a„ et les autres 

 nombres premiers avec tout exposant est un uiilieu homogène M^,,». «„• 

 Donnons-nous un ensemble A de nombres, algébriques pour fixer les idées, 

 tels qu'il n'y en ait pas deux dont la différence soit un rationnel; a et h étant 

 deux nombres (juelconques, le premier de A, le second de M^^, 2, »„' l'en- 

 semble des a -H /; forme un milieu de translation Yi^,^ ^^^ et les ensembles 

 inclus dans les H auxquels s'applique le procédé (généralisé) de M. Jordan 

 forment une famille semi-mesurable. Si l'on prend comme unité l'ensemble 

 des points de H,, „ . „ compris entre o et i, l'ensemble des points de 



H. , ,, situés dans les intervalles (o, - ), ( ^j -:; )> (—.' — )' •• ■ (v étant 

 un entier supérieur à i) a pour mesure ~^ — :/*?'/**'• ••/'«"• 



II. Soit une suite m,, u.,, ..., «,„, ... d'en^tiers supérieurs à 1; posons 

 cl^^ u^u.,...u,. On peut, a étant un nombre quelconque, le mettre d'une 

 infinité de manières sous la forme 



a, a, a,,, 



«1 "2 dm 



les a,„ étant des entiers. Prenons u„^^df,^^^ et choisissons une variable posi- 

 tive infiniment grande r„,^df,^_^, a et /> étant deux nombres positifs fixes, 

 y.<^p. L'ensemble Ex des nombres a pour lesquels une représentation du 



type considéré satisfait à la condition lim -^ = A est un milieu homogène; 



la portion comprise entre deux bornes a la puissance du continu et a, au 



sens de MM. Borel et Lebesgue, une mesure nulle (ceci est suggéré par un 



exemple de M. Borel). (^es propriétés subsistent pour le milieu C formé par 



tous les points de tous les milieux E). Si A parcourt un milieu homogène, 



l'ensemble E> engendre un milieu homogène. 



Désignons par /(,, h.,, .... //„, n nombres qui ne sont pas liés par une 



relation lc,/«, = o à coefficients entiers non tous nuls. Le milieu M,,^ ,,. ^_ 



'77' v7"' '77 



défini par x = kJ—/iA-\-...-i- /c,J~ h) («-72), les fractions - étant don- 

 nées et les k des entiers arbitraires, est homogène, la famille des M est semi- 

 mesurable. Si l'on prend comme unité la partie de M, , ,, située de o à i et 

 si, ayant décomposé un intervalle en un noudire limité ou une infinité énu- 



