212 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



le signe ± étant tel que œ, soit positif; il est clair que w, est supérieur à i . 

 On posera de même 



t.)i= 20f,± (l : Mj), ■ 



en désignant par 2a, l'entier pair (ici positif) le plus voisin de oj,, et ainsi 

 de suite. 



De là le développement (' ) 



(i) w=2a„H ' (£, = ±i), 



=2 



ia. 



2(7, 



les «,• étant > o, sauf «„ qui peut être nul. 



Je me propose de donner ici une interprétation géométrique de ce déve- 

 loppement; elle est analogue à celle que j'ai fait connaître, soit pour les 

 fractions continues, soit pour la méthode d'approximation d'Hermite (-). 



2. Introduction géométrique d' une suite de fractions. — SoitcGp le domaine 

 (triangle curviligne) limité, au-dessus de l'axe des x, par la demi-circon- 

 férence, C„, de centre (o, o) et de rayon i, et par les deux droites a-^± i, 

 qui sont des tangentes de C„; les sommets de (Dg sont ce, (i, o), (— i , o). 



(î)o est le domaine fondamental du groupe automorphe (fuchsien), F, 

 formé par les substitutions 



(2) ■-'=_L±1 (>.o-fjtv = -l-i), 



OÙ X, ..., p sont des entiers réels, et X -4- p et [x + '^ pairs, ou, ce qui revient 

 au même, X -)- v et a -t- p impairs. 



Au groupe F correspond une division du demi-plan en une infinité de 

 triangles cuvv'iWgnQS (k côtés circulaires, orthogonaux à Ox)\ on l'obtien- 

 drait en prenant les symétriques de F par rapport à ses trois côtés, et 

 opérant de même sur chacun des triangles ou domaines successivement 

 obtenus : chaque domaine est ainsi adjacent à trois autres, le long de ses 

 trois côtés respectivement. 



(') lîn réalité, Slephen Smith n'applique ce développement qu'à une irrationnelle 

 quadratique, et seulement dans le cas où il est simplement périodique; les considé- 

 rations dont il fait usage ne s'étendent nullement au cas général. 



(^) Comptes rendus^ t. 161, 191;"), p. 717; t. 162, 1916, p. 28 et 6~; Joarn. de 

 Mathém., 7" série, l. 2, p. 79-154. 



