SÉANCE DU 6 AOUT 1917. 2l3 



Tout domaine, lO, est le transformé de 'ô„ par une, et une seule, substi- 

 tution (2); il a donc ses trois sommets sur Oj7, et leurs abscisses sont 



M- F + P l'- ~~ 9 



Pour les deux derniers, l'abscisse (rationnelle) est le quotient de deux 

 entiers impairs; pour le premier, elle est le quotient de deux entiers (pre- 

 miers entre eux) de parités différentes : ;//; des sommets de co se distingue 

 donc des deux autres; nous l'appellerons la pointe de (0, et le côté opposé à 

 la pointe sera la base de cD. 



Tout domaine (B est accolé, le long de sa base, à un autre domaine, cd', 

 de même base; ainsi (0„ est adjacent par la base à tO^, de sommets (o, o), 

 (i, o), (—1,0); les pointes de lô et de tû' ont pour abscisses A: a et v : p,. 

 valeurs obtenues en faisant g = co et o dans (2), et l'on a Xp - [j.v = i. 



Sous une autre forme, si p:q el p' : q' sont les pointes de deux domaines 

 adjacents par la base, on a pq' — qp' = rh i . 



Cela posé, suivons la droite a; = to, dans le demi-plan, de 00 jusqu'au 

 point co de Oa;; écrivons les abscisses des pointes successives des domaines 

 traversés; si une pointe se présente A fois de suite, nous n'écrirons son 

 abscisse qu'M/?e fois. Nous arrivons ainsi à une série de fractions irréduc- 

 tibles /Jo«m'e5 (la seconde seule peut être nulle) 



(3) 



dont les deux termes sont de parités contraires, et qui tendent évidemment 

 vers O), en vertu des propriétés de la division considérée du demi-plan; la 

 première, i : o, correspond au sommet 00 du premier domaine traversé; la 

 seconde, la^^: i, correspond de même au second, et ia^ est manifestement 

 l'entier pair le plus voisin de co. Un regard jeté sur la division du plan rend 

 tout cela évident ( ' ). 



Je dis que la suite (3) coïncide avec la suite des fractions de Smith, c'est- 

 à-dire avec les réc/«zVe.f successives qui proviennent du développement (i), 

 précédées toutefois de la fraction i : o. 



A cet effet, admettons que les deux suites coïncident jusqu'au terme />: q 



(') Steplien Sniilli considère un groupe, autre que F, dont le domaine fondameiUal 

 est COo-H (©01 ce qui semble compliquer les résultats ; il n'introduit pas la droite .r ^oj, 

 (jui joue le rôle fondamental (|uand w est quelconque. 



C. R,, 1917, 2- Semestre. (T. 1G5, N* 6.) '-^9 



