2l4 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



inclusivement; nous allons calculer le terme suivant dans chaque suite et 

 constater que ces deux termes coïncident. 



3. Calcul du terme qui suit p:q dans (3). — Avec les notations précé- 

 dentes, on a pq' — qp' = ± i, parce que les changements de pointe, dans les 

 domaines successifs traversés par la droite a; = w, se font à la traversée 

 d'une base, en sorte que p' : q' el p: q sont les pointes de deux domaines 

 adjacents par la base. Soit donc pq' — ^y/ = y], où yj = ± i ; considérons la 

 substitution modulaire 



\'\ 1 •' — ; ;' 



OÙ 



(5) pq' — '/p'^n\ 



elle appartient au groupe F, puisque/; et q sont de parités différentes, ainsi 

 que/)' et q ; elle change donc en elle-même la division considérée du demi- 

 plan. 



Soient tiV et (ô les domaines adjacents peu- la base dont les pointes sont 

 p' : q' el p : q ] à ces valeurs de :;', la substitution (4) fait correspondre deux 

 domaines de pointes, s, égales respectivement à o et œ, et adjacents par la 

 base; ces domaines sont dès lors nécessairement ut)[, et t0„. 



Par la même substitution (4), la droite a- = w devient une demi-circon- 

 férence, s, qui coupe 0:c aux points (répondant à :-'=cc ets'=a)) dont 

 les abscisses sont 



(6) -,=— rj i-; z^——n' 



q p — i^q 



La droite a; = co /)«**(; de (D'à (0; doncZ^ suivie de z^'&z.,^ passe de (£)'„ à Oc)„: 

 il en résulte, par l'examen même de la division du plan, que z^ est, sur Oa-, 

 entre les abscisses — i et -f- i , ce qui entraine q' <^ q. 



Au sortir de (0„, 3 pénètre dans un domaine adjacent à cô„ le long d'un 

 côté reçtiligne, c'est-à-dire dans un domaine de pointe co ; elle traverse 

 ainsi des domaines successifs de pointe ce et pénètre ensuite dans un do- 

 maine de pointe ia, en désignant par a un entier non nul : tout cela, 

 encore une fois, est évident géométriquement. 



Quant à aa, c'est manifestement Ventierpair le plus voisin de z.^. 



Revenant de £ à la droite j:' = w par la substitution (4), on voit que cette 

 droite, après la traversée de domaines de pointe p \ q, pénètre dans un 

 domaine dont on obtient la pointe en faisant z = la dans (4); en d'autres 



