SÉANCE DU 6 AOUT I917. 2l5 



termes, la fraction P : Q qui suit/; : q dans la suite (3), a pour expression 

 , _ P _ lap + n p' 



la désignant Ventier pair le plus voisin de z^, ce que nous écrirons, en 

 employant la valeur (^(j) de :.^, 



(8) .«=r(_,£j^^). 



Le signe de 2.(1, qui n'est pas nul, est celui de z^; c'est donc celui de 

 ''](P'~^'^^')('^/'^~p)j soit celui de yi'(y]' = zb i). On a ainsi, en multi- 

 jjliant par •/]' les deux termes au second membre de (7), 



avec 



(.0) ' H"l = ^(^^^=^')-. 



' *^\ p — Oiç 1 



Comme q est supérieur à y', et |a|^o, on peut écrire 



(n) P = 2 I « I /J + -ory'/j', C} — i\a\q^-i:n'q'. 



Q étant ainsi positif, et P l'étant dès lors également. 



4. Identité des deux suites. — Calculons de même le terme qui suit/? : q 

 dans la suite de Smith. Supposons que, pour obtenir/? : </, on se soit arrêté, 

 dans le développement (i), au terme £„ : 2a,,, exclusivement; la fraction de 

 Smith, P' : Q', suivante, sera, d'après une formule classique, donnée par 



(12) P'=2«„/î + £„p'; Q'=2«„7 + E„'7'. 



Quant à 2rt„, on peut le définir ainsi : si u est le quotient complet 



« = 2f7„H , 



2(7,,,.]+... 



on a évidemment 



, „, pu +SnP' p' —Mq' 



(i3) M — i '—; u=z — E„i '-■ 



qu^t„q' p—<j)q 



Il ea résulte que 2«„, entier pair ie plus voisin de u, a pour expression. 



