2)6 ACADÉMIE DES SCIENCES, 



puisque ii est positif, 



2««=<£ 



• 'jiq 



fj) cj 



par suite, en vertu de (lo), 2a„= i\a\. 



Pour montrer donc que P' et Q' coïncident avec P et Q, il suffît mainte- 

 nant, d'après (i i)el(i2), de montrer que t„= -q-rl . Or, par définition de y]', 

 le signe de Y]y)' (qui est ±i) est celui de '/]'f](p' — ^7')(y<^'-' ~^P)j c'est- 

 à-dire celui de (// — coy') (qo) — p). D'autre part, en vertu de la seconde 

 formule (i3), et puisque u est positif, le signe de £„ est celui de 



et, comme £„ = ± i, il en résulte bien que i„ = r-r^\ et dès lors la suite (3 ) 

 coïncide avec celle des fractions de Smith. c. q. f. d. 



5. Interprétation géométrique . — Reprenons la demi-circonférence £; en 

 la suivant dans le sens de ^, à z,^, on traverse, on l'a vu (n° 3), un certain 

 nombre de domaines de pointe ao, dont le premier est 0„, et dont le dernier 

 est adjacent par la base à un domaine de pointe ia. Il "en résulte que ces 

 domaines sont respectivement adjacents par la base à des domaines dont 

 les pointes sont, en posant 2 « = | 2 a | s, 



O, 2£, 4s, .-•, hffU, 



et leur nombre est dès lors |<7|4-i. D'ailleurs (n° 4), |a| = a„, en sorte 

 que le nombre des domaines de pointe oo, traversés par e, est a„-i-i : 

 c'est donc aussi, par la substitution (4), le nombre des domaines de 

 pointe y; : q traversés par la droite x = co, et de là résulte l'interprétation 

 géométrique de a„. 



Pour obtenir celle de î„, introduisons une nouvelle notion. Dans un 

 domaine (O, réservons le nom de côtés aux deux côtés autres que la base; 

 dans '0||, appelons côté positif c?\\n qui est porté par la droite ,r= + 1, 

 côté négatif celui porté par .t = — i; alors tout domaine «0 a un côté 

 positif à savoir celui qui équivaut au côté positif de (P,, par la substitution 

 (unique) de F qui change cD^ en tO; il a de même un côté négatif. 



Le côté positif est celui qu'on trouve immédiatement après la base quand 

 on décrit le contour de lO dans le sens positif ordinaire. 



Nous dirons qu'une demi-droite ou une demi-circonférence, orthogonale 

 à O.x-, sui\^ie dans un sens déterminé, traverse un domaine •? positivement 



