SÉANCE DU G AOUT I9I7. 21 7 



si elle pénètre dans li^i par le côté négatif ou si elle en sort par le côté 

 positif; elle le traverse négativement dans le cas contraire; deux domaines 

 adjacents /Jrt;- un côté sont traversés de la même manière. 



Or s sort de cO„ par le côté positif si 2r/>o, et par le côté négatif 

 si ia<Co\ le signe de -za est donc celui de la traversée de if^„ par e, ou 

 encore celui de la traversée de '^ par la droite x = (m, suivie de co à co. 

 D'autre part, en vertu de (8) et de la seconde (i3), le signe de a est celui 

 de •/]£„; mais d'après (12), P^ — Q/>est — /]£„, c'est-à-dire que — (Py — Q/j) 

 aura comme signe celui de la traversée de lO par la droite. Donc le signe 

 de — {pq' — qp), qui est — /), est celui de la traversée de tO'. Et comme £„ 

 a le signe de •/]«, il résulte de tout cela que t„ est — i si la droite x = w 

 traverse de la même manière (positivement ou négativement) les domaines 

 de pointe // : q' et ceux de pointe p : c/; £„ est -1- i dans le cas contraire. 



Réunissant tous ces résultats, on arrive à cet énoncé, où co désigne une 

 irrationnelle positive quelconque : 



I. On suit la droite a; = co, dans le demi-plan sur lequel est tracée la division 

 (a" 2) qui répond au groupe T, et l'on formela suite des abscisses, p '.q, des 

 pointes distinctes des domaines successivement traversés dans la division ; cette 

 suite coïncide avec celle des fractions successives que fournit le développement 

 de Smith pour co . 



II. Le terme t„ : 2a„ auquel on s'arrête (^exclusivement), dans le développe- 

 ment de Smith, pour obtenir la fraction p \ q est tel que : 



i" a„-4-i est égal au nombre des domaines de la division, traversés par la 

 droite x = m et qui ont p : q pour pointe; 



2° £„ est — r si la droite, suivie de a; à co, traverse de la même manière (soit 

 positivement, soit négativement) les domaines de pointes p' '. q' et p : q, en 

 désignant par p' : q' la fraction de Smith qui précède p : q : et £„ est -\- i dans 

 le cas contraire ( ' ). 



La proposition H ne s'applique pas au terme i : o, mis en tête de la suite 

 de Smith. 



On a ainsi l'interprétation géométrique des fractions que fournit le déve- 

 loppement de Smitli, et celle de ses quotients incomplets. L'application à 

 une irrationnelle quadratique est intéressante et la périodicité de son 

 développement résulte presque immédiatement de ce qui précède. 



(') Une interprélalion analogue des ;„ s'appliciue au développement hermitien. 



