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2. Domaine fondamental et groupe. — Soit, dans le demi-plan analytique, 

 cO„ le domaine limité (au-dessus de 0.r) par la demi-circonférence de 

 centre (o, o) et de rayon i, et les deux droites .r = rh i, qui lui sont tan- 

 gentes. C'est le domaine fondamental du groupe F formé par les substitu- 

 tions modulaires 



où A, .. ., p sont des entiers réels, tels que X -f- p et [j. 4- v soient pairs ('). 

 J'ai montré (-) le rôle de o?,, et de F dans le développement d'une irration- 

 nelle en fraction continue de Smith; à tO^j et F correspond une division du 

 demi-plan en une infinité de triangles, ou domaines, curvilignes, dont chacun, 

 comme (O,, lui-même, équivaut à trois domaines du groupe modulaire ordi- 

 naire : F est, en effet, un sous-groupe d'indice trois du groupe modulaire, 

 mais un sous-groupe non invariant. 



Il suffit maintenant d'appliquer à 't^„ et à F des raisonnements faciles 

 pour arriver aux résultats que nous avons en vue. 



.3. Formes définies (positives). — I. Ordre propre. — Une forme quadra- 

 ti(jue binaire («, 6, c), primitive ou non, mais de l'ordre propre (a etc non 

 pairs à la fois), sera dite réduite (mod 2) si a et c sont impairs et si son point 

 représentatif est dans 0^, ou sur la partie du contour de <P„ située à gauche 

 de Oj. 



Analytiquement, les conditions de réduction de («, h, c) sont : 



i" a et c impairs; 



■1° \b\<a<c. . 



Si, dans 2", on a un signe =, il faut ajouter i>o. 



Il y a une et une seule réduite équivalente (dans le sens ordinaire) à une 

 forme donnée. 



Pour une réduite («, b, c), les trois minima, c'est-à-dire les trois plus 

 petits entiers représentables /j/-o/j/'e/«e/<i parla forme, sonta, c, a-\-c — 2|A|; 

 les deux premiers sont les minima impairs, (a'^c):, le troisième est le 

 minimum pair. 



II. Ordre impropi-e. — On dira qu'une forme positive (a, />, c), de 

 l'ordre impropre (o et c pairs), est réduite (mod 2j) si les conditions 2° 



C) Nous dirons aussi que les substitutions | x, j; ^j; + vv, /jl^' -h pj)' | »onl de F. 

 (■-) Comptes rendus, l. I60, 1917, p. 211. 



