SÉANCE DU l3 AOUT I917. 2)7 



i" D^i mod/j- — Ce cas se subdivise lui-même en deux sous-cas, selon 

 i[ue, dans la solution minimum positive, /,, «,, de l- — Dir = l\, on a «, 

 inipair ou pair. 



7.. Si «I est impair, les réduites équivalentes (sens ordinaire) à une forme 

 donnée, forment uni', chai ne fermée ; de même les réduites principales où W^o 

 forment une seule période, qu'on obtient parle procédé du n° 5. 



[3. Siu^ est pair, il y a trois chaînes fermées ; de même les réduites princi- 

 pales où /> ]> G forment trois périodes (procédé de calcul du n" T) ). 



2° D^o mod4. — Dans les formes (ordre impropre) correspondantes, 

 h est pair; on peut donc écrire {a, h, c) 



2'' (a' X- + ■?. />' .r V -t- c' j-^ ) , /i > 1 , 



a , h', c' n'étant pas tous pairs. 



Alors, si («', b' , c' ), de déterminant D', est de Yordre propre {a et c' non 

 pairs à la fois), les réduites (mod 2) de («, h, c) seront : 



i" Les réduites (mod2) de (a',iy,c'), multipliées par le facteur 2''; 

 elles forment une chaîne ; 



2" Les formes p (n°6), équivalentes à [a\b',c'), multipliées par 2^; 

 elles forment une ou deux chaînes, selon que f//,, solution minimum 

 de /,," — Ti'u\^ = 1, est impaire ou paire. 



Si («', A', c') est de Vordr-e impropre, on a D'^^imod'i, puisque// est 

 alors nécessairement impair; les réduites (mod 2) seront les réduites (mod 2) 

 de («', b', c') multipliées par 2.''; elles forment une ou trois chaînes selon 

 que u\ , solution minimum de l''^ — D'«,' = l\ est impaire ou paire. 



Dans tous les cas, les réduites principales où h'^o forment autant de 

 périodes que l'ensemble des réduites forme de chaînes, et le procédé du n^o 

 permet toujours de les calculer de proche en proche. 



/{emarf/ue. — La définition des réduites subsiste si le déterminant D est 

 carré parfait; mais elles ne forment plus des chaînes fermées. Llles sont 

 toujours en nombre fini. 



Les réduites principales («, b, c) seront, dans tous les cas, définies par les 

 conditions suivantes : a et c sont de même parité et (a + c)- — L\b'^ est 

 négatif. 



