SÉANCE DU l3 AOUT 1917. 263 



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 excès Sg. Mais je me propose de former ici la suite de meilleure approxima- 

 tion absolue, c'est-à-dire la suite des fractions— qui jouissent de la pro- 

 priété que : toute fraction plus approchée de s que — j dans un sens ou dans 

 r autre, a un dénominateur plus grand que n. 



Pour cela, je rappelle que dans S^ et S^ les termes se répartissent en 

 groupes, les termes d'un groupe G,^ étant 



—^ étant la (X- -I- i)'""™^ réduite du développement a„ H 1 •• 



de s en fraction continuelle. Ce groupe (i^r appartient à S,,, si k est impair, 

 à Se, si k est pair. Alors l'ensemble des termes des deux suites, rangés par 

 ordre de dénominateurs croissants, est Gp, G,, Go, • ... 



Ceci posé on démontre que, pour former la suite cherchée, il faut dans 

 chaque groupe G^ supprimer les «^ premiers termes, «^ étant l'entier 

 déterminé par la double inégalité 





s^ désigne le quotient complet a,, H 



Remarquons qu'on tire de là 



;; I < «/ < 



2 2 



Or (^;^^., est le nombre des termes du groupe G^.. On voit alors que : si 

 le nombre Oy^,^, des termes du groupe G^ est impair, il faut supprimer 



les -^ premiers termes de ce groupe. Si ce nombre rt^^^, est pair, il 



faut supprimer les -^ ou les -^ — i premiers termes, le nombre exact 



étant en tout cas donné par les conditions ( i). 



On démontre que la suite de meilleure approximation absolue n'est pas en 

 général fournie par un développement en fraction continuelle régulier. 

 J'appelle ainsi un développement à quotients incomplets positifs ou 

 négatifs, mais où la valeur absolue de tout quotient complet est supé- 

 rieure à I. 



