SÉANCE DU 27 AOUT I917. 3oi 



Egalons maintenant les coefficients de (f* aux deux membres de (7); le 

 coefficient est en évidence au second membre; pour l'avoir au premier, il 

 faut poser de toutes les façons possibles, 



(9) HTz:h-+('îl: + \) (■?.!: + \-\- 10), (h^ o, klo, p^o) 



et prendre la sommet] 4(2/ •+ i), étendue aux décompositions (9) de N : 



si p = o, le coefficient 4 doit être divisé par 2. 



Posons, pour abréger, d ^ 2k + 1 \ r/, — 2k -h i -h 2 p, les cl, d, sont po- 

 sitifs, impairs, et d ^ d,. 



Nous ferons apparaître les réduites principales en écrivant (9) : 



ce que nous écrirons encore N = h'- — «e, en désignant par b, a, c, dans cet 

 ordre, les trois parentbèses au second membre de (9 bis). 



Ou voit que a. b, c sont entiers, b positif, a + c pair, et positif ou nul; de 



plus, la quantité b (a + c), égale à d, est impaire. La forme indéfinie 



(r/, b, c), de déterminant N, est réduite principale, car b est positif, a + c pair 

 et (a + c)- <C \ b'^ ; elle est de Y ordre propre ou de Vordre impropre, et jîi y est 

 impair. 



Réciproquement, si Ton retourne les calculs, on voit que toute réduite 

 principale («, b, c), de déterminant N, que son ordre soit propre ou im- 

 propre, mais pour laquelle ^ est impair et a -t-e^o, donne lieu à une dé- 

 composition (9). 



Le coefficient cherché de 9", au premier membre de (7), est donc 



^t" 





la somme s'étendant aux réduites principales (a, b, c) des deux ordres, de 

 déterminant N, pour lesquelles [3 est impair, a -+- c>o, et le facteur /j étant 

 remplacé par 2, si a -f- c = o. On fait disparaître l'anomalie en introduisant 

 les réduites principales, de déterminant N, pour lesquelles a4-c<;o, et 

 qu'on obtient évidemment en changeant les signes de « et de r dans les 

 réduites où a -h c^ o; le coefficient en question est ainsi 



2^ 6— -|« + c|. c'esl-à-dire ^2(3, 



la somme portant cette fois sur les réduites principales des deux ordres, de 

 déterminant N, pour lesquelles p est impair. 



c. R., 1917, i' Semefitre. (T. Ui5, N« 9.) ^{0 



