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On est donc enfin conduit à la formule, qui exprime l'égalité des coeffi- 

 cients de q^ aux deux membres de (7), 



où les V ont le sens indiqué au n" 1 . 



4. En égalant, dans les deux membres de (5), les valeurs principales 

 pour x = o, puis les coefficients de q^ dans les deux membres nouveaux, et 

 remplaçant /.'(o) par sa valeur déduite de (2), on arriverait de même à la 

 formule , 



(,., • -2'p*rp=s(w)'"- 



Enfin, dans (4), faisons les mêmes calculs; nous trouvons 



au second membre, on prend o, si N n'est pas carré, et — 2N, si N est 

 carré : la même convention s'applique aux formules qui suivent. 



5. Formules définitives . — En combinant (10), (11) et (12), on obtient 



N 4N 



Il est facile de passer des classes positives de discriminant 4N à celles de 

 discriminant N; distinguant ensuite des cas selon la valeur de IN(mod/(), 

 on arrive aux formules définitives : 



(i5) V a^S =: ^2(m.,— ;»,) (^^j ponrN — 2oii3 (Tnod4). 



(16) V a|3 := ^2/« (— ] + (o, — 2N) pour N = I ou o (niod4), 



N N 



('7) 51 'P ~ S^'^'"'"*"'"'"^ '"^(~/ "*" ^"' ""^'^^ pourN=ioiio (mod4). 



