SÉANCE DU 27 AOUT I917. 3o3 



b]nfîn, dans les cas de N^o(mod4) ou ss i (mod8), on peut, grâce 

 à (10), décomposer le premier membre de (17) en y distinguant les 

 réduites principales (ordre impropre) pour lesquelles - (« + c) est impair 



et celles où il esl pair ; nous désignerons par ^ et V , respectivement, 



des sommes étendues aux réduites principales (ordre impropre) de déter- 

 minant N, et pour lesquelles - (a + c) est respectivement impair ou pair. 

 On a ainsi 



(.8) 2 ^?=S 



•■"(1) '-' 



2 m 



4M 



— I 



m. 



^■'^^ 2;,/-?=S^-"U 



8M+1 



Telles sont les formules qu'on avait en vue; elles comprennent toutes 

 celles qu'on peut tirer de (10), (i i) et (i^), et aussi celles, moins complètes 

 et d'une forme toute différente, que j'ai publiées ailleurs ('). 



Elles donnent, on le voit, des relations linéaires très simples entre les 

 coefficients des réduites principales indéfinies de déterminant N et ceux 

 ( mi ni ma) des formes réduites positives de déterminant — N. La nature des 

 fonctions y et s, qui ont servi à les établir expliquent, a priori, comment il 

 ne figure, aux premiers membres, que l'expression 2p. 



Dans la formule (18), le premier membre s'applique aux réduites prin- 

 cipales de déterminant 4M, de l'ordre impropre (2a', aè', ac'), où a' -{- c' 

 est impair : la forme (a', //, c'), de déterminant M, est donc ce que j'ai 

 appelé, dans ma dernière !\ote, une forme 9 principale. Désignons ici par 

 semi-réduiles principales les formes indéfinies (nécessairement de l'ordre 

 propre) pour lesquelles a' -\- c' est impair, è' positif, et |rt' + c'| inférieur 



à 26'; par > "une somme étendue aux coefficients des semi-réduites prm- 



M 



cipales (a', //, c' ) de déterminant M : la formule (18) s'écrira, si l'on intro- 

 duit, au second membre, les classes positives de discriminant M, 

 1 



y^'ih'-\a'+c'\ = ^^{, 



-h {int + /// — I m , — //( I ) ( 



(') Journal de AJalhcmatii/iies. 6" série, t. i. 1908, p. S-g. Les réduites principales 

 n'y sont pas introduites. 



