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guant des cas suivant la valeur de N ( mod 4 ) : 



(il) . H,(4« + 2) = 2F(4«-+-2), 



(la) H,(8/î + 5) = 2F(8« H- 5), 



(i3) H(,(8« + i) =2F(8/i-+-i). 



Dans la dernière, H„(8« + i)est la somme V (^j- )> étendue à celles des 

 réduites principales (a, />, c), de déterminant 8« -f- 1 et de l'ordre im- 

 propre, pour lesquelles -(a ~hc) est pair. 



4. Les formules (7) à (i3) sont bien du type que nous avions annoncé; 

 elles sont remarquablement simples et se traduisent élégamment en langage 

 ordinaire; l'équation (11), par exemple, s'énonce ainsi : 



l'tirmi les réduites principales (a, b, c), indéfinies ('), de déterminant 



lin -h 2, le nombre de celles où la quantité, toujours impaire^ b — -\(i -\- c\ est 



de la forme 4/ -f- i , diminué du nombre de celles où elle est de la forme ] k — \, 

 est égal au double du nombre des classes positii'es de discriminant 4 '* + ^ • 



On a ainsi d'intéressantes relations entre certains nombres de réduites 

 principales indéfinies de déterminant N etdes nombres de réduites positives 

 de déterminant — 1\. On en obtiendrait d'analogues, grâce à des formules 

 nouvelles qui concernent la fonction numérique C d'Hermite (loc. cit.)-, 

 par exemple : 



iv(4/0 = 2("i)"rF(/0-3F,(«)+S(-'Fl; 



le premier membre devant être augmenté de + i , si n est carré. 



Par d'autres procédés, enfin, et en partant toujours des propriétés de nos 

 fonctions numériques 'j', y , ..., s, on établirait diverses équations, telles 

 que celle-ci : 



4fH-3 



■-'=-s'' 



/ 2 



OÙ (—0^ ) ^M ~ ) ^^^^ ^^^ symboles classiques de Jacobi. 



5. Formules du second type. — Tout d'abord, en appliquant aux seconds 



( ' ) Il est inutile d'ajouter de l'ordre propre, car il n'y a pas d'ordre impropre pour 

 les déterminants ^ 2 ou 3 (mod !^). 



