SÉANCE DU 3 SEPTEMBRE I917. 325 



membres de (7), (i 1 ), (12), (i3), certaines des formules de Kronecker, on 

 peut en déduire, pour les premiers membres, des relations du même genre. 

 Par exemple, si ^i{n) désigne la somme des diviseurs impairs de /i, on 

 aura ('), par (i i) et (12), 



H,(/,M4-2) -)- 2ll,(4M + 2 -2^) + 2H,(/iM + 2 — :',')+. ..:rr2C?,(4M + 2), 



H2(8M + 6 — iM-i- 2lli(8M +6 — 3'^)-+- 2H,(8M + 6 — 5^) +...= (p,(8M + 6). 



Ce sont des relations où les deux membres sont du type même de 

 Kronecker; seulement H,(LiM + 2), par exemple, est la différence entre 

 deux nombres de réduites principales de déterminant 4M + 2, au lieu d'en 

 être la somme, comme le demanderait l'analogie directe. On peut obtenir, 

 de la manière suivante, d'autres relations de même nature. 



l'xrivons que BOr],, dont (3) fournit le développement suivant les puis- 

 sances croissantes de <jr, est le produit, par y],, de Bô, calculé lui-même 

 comme produit de B par 0; égalons ensuite, dans les deux membres, les 

 coefficients de 7'^'"^' et y"', et posons, pour simplifier, 



la somme s'étendant aux décompositions en facteurs n = o,Oi„ avec 0, im- 

 pair, Oj, pair et 2,<| i5^,; nous aurons : 



lI,(8iM4-4-|-^) + H,(8M-F-4-3=)H-H,(8M + 4 — 5')+... = 29,(2M + i), 

 H,(8M~i^) + |I,(8iVI-3^) +H,(SM — 5^-) h-. . . = 2Î2(2M). 



On aurait pu opérer de même en permutant les rôles de yj, et de 0; passant 

 ensuite aux semi-réduites principales, on aurait trouvé les deux formules 

 simples : 



H,(2M-4-l) + 2H,(2M-+-I— I = ) + 2H,(2Mh-I — 2'^) -(-...= 4?,(2M +1), 



2 2 2 



H,(2M) H-2Hi(2M — I^) +2H,(2M — 2^) 4-...:=r40(2M). 



si 2 



Les relations où entre le C d'Hermite donnent de même, si l'on désigne 

 par p(«) le nombre total de décompositions de n en une somme de deux 



carrés, 



K(8M)- 2K(8M — 4.i2) -+-2K(8M — 4.2')— ... 



= — ^(— .)"p(2M) + 129,(2M)-40(2M), 



K(8M-h4)-2K(8M + 4 — 4.i') + 2k{8M-+-4-4.2')— ...= o. 



(') Dans les premiers membres ci-après, tous du type H,(N — A^), on donne à h 

 les valeurs entières telles que N — /(' reste positif, comme dans les formules de 

 KroiiccKer. 



