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Donnons encore cette formule, liée aux propriétés de la fonction s, (.r), 



/i=0, ±1. ±2, ... 8M + Ô — 8/i> .^ ^ 



la dernière somme s'étendant aux décompositions en facteurs 8M-\-5 = fId,, 

 avec r/ << d, . 



6. Pour terminer, j'indiquerai des relations analogues, mais où les pre- 

 miers membres portent sur certains coefficients des réduites principales, 

 coefficients qui ne sont plus ici des unités. Posons, afin d'abréger, 



n n 



nous aurons, parmi d'autres formules, 



('4) 2' (-')"L(4N + i-/,/r^) = -2(-i)>-V'^(f/,_,/)|'z_iy 



// = (), ±1, ±2. ... 



la somme, au second membre, portant sur les décompositions 



puis 



('5) 2' (-')"I^(4N-/iA;)=-82^(^.-â)(-.)"^'''"'"", 



/j=0, ±1.±2, ... 



la somme, au second membre, portant sur les décompositions 



(iC) Nz=:r>],; -î<ô,, 



où, de plus, et â, sont de parités contraires. Dès lors, le second membre 

 de (li) est nul, si N est impair. Enfin 



2 P(8M-(,/,+.n = 8VôM-.)^'^^^'^'-". 



2* + l = ±i.±:i, ... 



le second membre portant sur les décompositions (i(î), où N = 2M. 



7. Nous arrêterons là ces exemples. Ils suffisent, croyons-nous, pour con- 

 firmer l'importance, dans les applications arithmétiques, des fonctions 

 numériques remarquables dont nous avons si souvent parlé, et aussi pour 

 montrer l'utilité que présentait notre définition des formes indéfinies 



