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2. Pour fixer les idées, liornons-nous à une fonction entière m =/(=), 

 considérons son inverse :; = <û{u) et désignons par [J.(r) un ordre de /(:'), 

 qui, dans le cas de l'ordre fini, est bien déterminé et égal à un nombre 

 constant p ; dans le cas de l'ordre infini, iJ-{r) est une fonction type intro- 

 duite par MM. Blumentlial (') et Kraft pour régulariser la marche du 

 module maximum de /'(s). On sait que, en général, la densité des racines 

 de l'équation 



(i) /■( = ) = « 



est d'ordre {J-Çr), c'est-à-dire que, si nous désignons par n le nombre des 

 racines de (i) contenues à l'intérieur et sur la périphérie du cercle | s | == r, 

 on a 



(2) « < /■i^w''^^ 



à partir d'une valeur de /• (pour toutes les valeurs suffisamment grandes), 



(2') «> Z-!^- "■''"' 



pour des valeurs infiniment grandes de ;•. 



Il ne peut y avoir exception que pour deux valeurs au plus de // (l'infini 

 compris), pour lesquelles on pourrait cesser d'avoir (2') à partir d'une 

 valeur de )• (d'après le théorème généralisé de M. Picard) (-). 



3. Degré et ordre algébrique. — Considérons un point ?/„ du plan // et 

 soit /«„ le nombre des racines dont le module est égal ou inférieur à r. Si, 

 /•croissant indéfiniment, /?„ l'este fini, le point «„ est nécessairement trans- 

 cendant [voir ma Thèse, celle de M. Iversen (p. 23), ainsi que mon travail 

 ci-dessus ciléj pour la fonction inverse z = a-(?<),parce que la valeur Misera 

 asymptotique pour la fonction u=^J\z)\ dans ce cas, le point u„ (point 

 directement critique de MM. Boutroux et Iversen) sera dit de degré algé- 

 brique fini ^oxxxXd, fonction :; = ©(«/). Si n^^w^ reste pas fini, nous dirons 

 que son degré algébrique est infini et, dans ce cas, nous introduirons une 

 autre notion, celle de l'ordre algébrique : En désignant par [J-o('') un ordre 

 (fonction-type) de la densité des racines de l'équation /"(:;) = «„, nous 

 dirons que le point u^ est d^ordre algébrique iJt-,(/") pour z = o(«), puisque 



(') Principes de la théorie des fonctions entières d'ordre infini (Collection de 

 monographies sur la théorie des fondions, publiée sous la direction de M. l'>niile 

 Borel, Paris, 1910). 



(-) Voir le uièine Livre de M. Blunientiial (^ Chapitre VII). 



