SÉANCE DU 3 SEPTEMBRE I917. 333 



cette ([uantité lJ-„(r) détermine la densité asymptotique des branches 

 de s = 'f (m) qui sont finies (et, par consé([uent, algébroïdes) dans le voisi- 

 nage de u ^^ u„. 



4. Desré et or. Irc transcendant. — Les éléments lranscendai\ts nous sont 

 fournis par la quanlilé n — /i„ = N(r) qui se rattache (') à la densité 

 asymptotique des branches de 2^»(a) qui tendent vers Finlini sur un 

 chemin du plan // aboutissant au point u^, et exprime, pour ainsi dire, la dif- 

 férence entre la densité générale des racines d'une équation f(z.) = // et la 

 densité spéciale ( ^\vn peut être exceptionnelle au sens du théorème de 

 M. Picard) des racines de réquationy(:; ) = </„. 



Nous distinguons encore deux cas : Si la différence n — «„ = N(7') reste 

 finie, /■ croissant indéfiniment, nous dirons que le point ;/„ est de degré 

 transcendant fini "^ouv la fonction z = '^(u). Dans le cas contraire, il sera de 

 degré transcendant infini et, alors, il est nécessaire d'introduire la notion 



d'ordre en posant 



n — n^— /■'■ " 



et en désignant par T( r) une fonction-type régularisant la marche de ('(/); 

 nous dirons alors que le point u^ est d'ordre transcendant T('"). 



5. Les considérations et définitions ci-dessus exposées nous conduisent 

 aux conclusions suivantes : 



L Lorscjue l'ordre algébrique d'un point «„ est asyrnptotiquement infénetir 

 Cl u.(/)' '^ (0, nombre positif fixe arbitrairement petit), ce point est sûrement 

 transcendant dont Virdre transcendant est [J-{>'), c'est-à-dire : atteint le 

 maximum. Il en est de même, à fortiori, si le degré algébrique est Jim. 



IL Tout point w„ indirectement critique {'-) [d'après la classification de 

 M\L Boutroux et Iversen (voir la thèse de M. Iversen, p. 4'">)] est d'ordre 

 algébrique u.('") \maximum\, tandis que s<m degré transcendant est f ni. On 

 peut même dire que ce degré est nul dans le sens que la plus grande limite, pour 

 r ^ yz, de n — n„ est zéro. 



II L /l est impossible d'avoir plus de deux points transcendants [V infini 

 compris) d'ordre algébrique inférieur à \i.{r) \_plus précisément inférieur 

 à ij.(r)'~^, ô étant un nombre positif quelconque]. A cette classe appartiennent 

 les points directement critiques. 



{') Thèse de M. Iversen et mon travail ci-dessus cité (p. 179). 



{-) Pour toutes les poitions cpA(«) de w{ii). [Voir la thèse de M. Iversen pour le 

 domaine A et la portion oa(«)] 



