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II. Darboux a donné, dans son Traité sur la Théorie des surfaces, une 

 métliode très curieuse de recherche des systèmes orthogonaux. On a les 

 équations 



auxquelles satisfont aussi r, ^, a;*-f y- -f- :;-; et ces conditions sont suffi- 

 santes pour que le système soit orthogonal; H, H', H" sont les fonctions 

 de Lamé. 



Admettons que, pour chacune de ces équations de Laplace, les deux inva- 

 riants soient nuls. On trouve qu'elles sont satisfaites en posant 



_ F.,(c)-i-M,(c')-f-N|(t,-' ) 

 '^~ P(c)-hQvc') + K(c") ' 

 .__ L,(c)-hM,(c') -+-i\,(c") 

 '- l'(f)-^n((-')4-ii(c-") 



U{c)-h M,(f') -4- N,(c") 



'■- l.(c)+0(f)+K(c") ' 

 „_ L(c-)+ M(r')-t-\(c" . 



on a 



■y- 



L, — a,L-i-|3,l', l.,= a,L-i-;3oP, L,-a,L + ^,\\ 



N,= /jN,. N3=i/.-N„ L;-t-L^-+-L;=I.P, 



M] + MÎ + Ml — 4(a,M, -l-a2M,+ a^M,) (^, M, + p.Mj-t- (S^Mj), 



les quantités a,, a^, aj; [3,, jB., [3;,; h, k étant des constantes liées par les 

 relations 



I — -2 (a, 4- a,/; 4- 3(3/0 pi M- 2(3, + Pî/' -I- Sj/O^i, 



A — 2(ai4- 3t,/( -H «s/OpjH- 3(j3i-f- Pj/f -+- p3/.)ao, 

 /,• = 3(a, -f- st,A -h «3/OP3+ 2(,3, + pj/i + |33/.)«3- 



III. Dans son remarquable Traité sur les systèmes orthogonaux, 

 Darboux a exposé une méthode toute nouvelle, qui ramène la recherche 

 des systèmes orthogonaux à l'intégration des équations 



du rh' rlu dv du du 



_=_cotp.-, _=.iangf.^, ^ = "^ (no m p. 4.7); 



