J58 ACADEMIE DES SCIENCES. 



avec 



"("' '•) = -'""-%.!„. -C^)(.^„..-C=)- 



Dans ces formules, a est une constante dépendant de l'ellipsoïde de réfé- 

 rence, et £ est une constante arbitraire ('). 



Cette forme nous conduit tout de suite à un résultat intéressant : si Ton 

 calcule les dérivées partielles du premier ordre de X, \ , Z, en se souvenant 



(|UC 



d 

 lia ' 



on voit que ces six dérivées se composent de termes contenant tous un 

 facteur soit a'^o", soit a'o„c. Elles s'annulent donc toutes aux points 

 ■^■2oU = 'j'jof' = o, qui sont, dès lors, des ombilics du piroïde. Or les points 

 du jacobien critique définis par s'oo» = cj'oof = o sont justement les 

 ombilics de cet ellipsoïde, et nous pouvons énoncer le théorème suivant : 



Les points correuponrlant aiiv ombilics du jacobien critique sont des ombilics 

 pour le piroïde. 



Considérons à présent une autre des figures d'équilibre de Poincaré, 

 d'ordre supérieur; ses coordonnées seront encore données par les for- 

 mules (i), où l'on fera, si la figure est d'ordre 2/j, 



( J;i„ Il — y.ji . . . m,. Il — y.p) (:il„i' — Cx) . . . (o';^ i' — x,,) 

 et si elle est d'ordre -ip -\-\, 



II(«, r;i :- -isoll S'so' 





Les six dérivées partielles du premier ordre s'annulent encore pour 

 ■^.,f,u = s'ont' = O, et le théorème énoncé ci-dessus s'applique non seulement 

 à la figure piriforme, mais à toute figure d'équilibre voisine des ellipsoïdes 

 de .Tacobi. 



(') Les résullals qu'établit celte Noie ne supposent pas ([iie la cinislaiile £ soit 

 pelile, comme l'exige la théorie statique. 



