SÉANCE DU lO SEPïEMIîRE 1917- SSg 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Suj- àï i.oi.nii de voisinage dans les 

 ensembles abstrails. Noie de M. Maiiuce Foéchet, présentée 

 par M. Hadaniard. 



Dans une Cnaiimuiicalion au Congrès inlci 11, 1 i^nal des malliéniaticiens à Home, 

 M. F. Riesz avait généralisé la conception des classes {^) que j'avais préseniée dans 

 ma Thèse (Paris, 1906). Alors que celle-ci élail ha-ée sur la notion des suites conver- 

 gentes, M. F. Riesz s'appujait sur la notion d'/i' .>nt-liniile. Il supposait que dans 

 ses classes, ([ue nous appellerons classes (iR.), n ' luinalion quelconque des élé- 



nienls-limiles de chaque ensemble élail donnée, sali-liiisanl seuknicnl à quatre condi- 

 tions très simples. 



Cherchant à dégager de la nolion de voisinage ce qu'elle a de vérilablemenl essen- 

 tiel, je l'ai eniplo»ée dans ma Thèse dans un sens lies général, que jai encore élargie 

 dans une Note récente des Transactions of the American Malh. Soc. (lyiy)- Je pro- 

 pose maintenant la définition suivante qui eiiginlu; les deux définitions (|ue j'avais 

 ainsi successivement adoptés et qui fournit aus^i hi définition d'une classe ]duS géné- 

 rale que les classes de F. Riesz. 



Nous dirons qu'tine classe d'éléments est une classe (x"-») (*) si dans une 

 telle classe les éléments-limites de chaque ensemble sont définis de la façon 

 suivante : 



A tout élément A de la classe est atlacln'e iine famille arbitraire d'en- 

 sembles V^ appelés voisinages de A. 



Un étémenl A sera dit élément-limite d'un ensemble E, si cet ensemble con- 

 tient des éléments aussi vqisins de A que l'on teut, c'est-à-dire a un élément 

 (autre que A), au moins, en commuti avec tout voisinage de A. 



On voit facilement que toute classe de F. Riesz [et par suite toute 

 classe {<^)\ est une clas.?e (%>). Mais pour que la définition des éléments- 

 limites des ensembles tirés d'une classe permette de considérer celle-ci 

 comme tine classe (t?), il n'est pas nécessaire que les quatre conditions de 

 V. Riesz soient vérifiées. Les deux suivantes sont seules nécessaires et suffi- 

 santes : 



1° Tout élément-litnite d'une partie duii < nsemble E est élémenl-liinile 

 de l'ensemble total E. 



2° Le fait, pour un élément A, d'être éléménl-limite d'un ensemble E, 

 ne dépend que des éléments de E autres que A. La première est la première 



(') Celte notaliun b"étend donc à des classes |jIus générales que dans mes deux 

 NJérnoires ci-dessus mentionnés. 



