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OU bien 



a. 

 (i — /■)cos- , ^ ■ 



(2) = cos \- r cos h . . . + /■" cos n -\ — a +. . . . 



I ^ 2/-cosa -h / - 3 2 \ 3/ 



Multiplions encore les deux membres de celle dernière égalité par cos -' ih. 

 et intégrons de o à 2-; comme 



/ cos p H — \ a. cos — rfa = o 

 pour />I^ I , il nous restera 



.■27t (l— 7-)C0S=- 



/ de =^ 71. 



. / I — 2 /• cos a. -\- r^ 



La quantité sous le signe d'intégration admettant, par rapport à a, 

 la période 2tz, on aura 



„27t (1 — r)cos' 



(3) - / ^ -dcf.=.i, cl a; < 3 71. 



TtJ^ I — 2/' cos(a — ,r ) + /- 



Cette égalité n'est valable que pour |7-[ <; i. Si l'on fait tendre r vers -1- i, 

 l'intégrale (3) devient une intégrale singulière, car, dans l'intégration, seul 

 l'élément correspondant à a = a; compte. Comme la quantité sous le signe 

 d'intégration est une fonction paire en (a — .x) et positive, on déduit, à 

 l'aide du premier théorème de la moyenne, que l'intégrale 



■ir. (i — r)cos' — — 



■K J^^ ' 1 — 2 /• cos (a — j? ) -h /-^ 



tend, quand on donne à ;• des valeurs tendant vers i par des valeurs infé- 

 rieures à I, vers -[/(a;-f-o) + f{x — o)J en tout point de discontinuité 



de première espèce de la fonction /(a;) bornée et intégrable; cette conver- 

 gence est uniforme à l'intérieur de tout intervalle de continuité. Consi- 

 dérons le développement en série trigonométrique de/(aT), 



f{x)z^ h «1 cos a; -h Zi, sina: + . . . + ci„ cosnx -\- bnsinnx -\- . . . , 



et posons 



A„ = a„ cos /ix -^ bn si n 11 x ; 



