SÉANCE DU l" OCTOBRE I9I7. ^21 



on voit alors, à l'aide du développement (2), que l'intégrale (4) repré- 

 sente la somme de la série 



Ao+-A,H- -r(A,4-A2)+ - /--(Aï + A3) +...+ -/-"{A„+A„_^, )+.... 



2 2 2 2 



L'intégrale (4) correspond donc à un procédé de sommation des séries 

 Irigonométriques. 



En cherchant, plus généralement, la somme de la série 



-+- -/■(Ai + A2 + . . .-f- A,,) +. . .+ -/•"(A„H-.. .4- A„+,,_,) 4-..., 



l'intégrale 



on trouve que cette séi'ie est représentée, pour les valeurs de |/| < i, par 



aie 



• p ^ { ■ P ■ P — 2 



^i-K-x sin ^a (i-r)(sin^« — /-sin — ^ 



/ /(« -h X) ^ ■ —^ 



' ^ — X a 1 n 2 _ ^ 



sin- - a 



2 



PouryD = I et/j = 2, cette intégrale se réduit respectivement à l'intégrale 

 de Poisson et à l'intégrale (4); pour/)> 2, et;- tendant vers i. le noyau de 

 cette intégrale singulière, qui reste une fonction paire en a, ne garde plus 

 un signe constant./; étant un nombre fini, en partageant l'intervalle d'inté- 

 gration — X 'a 2- — X par les points racines de l'équation 



■ P 

 sin — c/. 



. , a \ 2 

 sin- — 



2 . p ■ P — 2 



' sin — a — /• sin a I =: o, 



on pourra encore conclure, par l'application du premier théorème de la 

 moyenne, que cette intégrale tend, lorsque /■ tend vers -l- i, vers 



f{x) étant une fonction bornée et intégrable. Bien entendu nous suppo- 

 sons, comme dans la méthode classique relative à l'intégrale de Poisson, 

 qu'on se donne d'abord la valeur de la variable x et ensuite qu'on fait 

 tendre /• vers + 1. 



Lorsque le nombre p croit indéfiniment, le premier théorème de la 



