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moyenne n'est plus suffisant pour prouver la convergence de l'intégrale (5), 

 pour /• tendant vers -\-ï. Remarquons que, si dans ce cas nous faisons 

 7- = o, rintégrale (5) se réduit à l'intégrale de Fejér. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur une décomposition d'un intervalle en une 

 infinité non dénomhrable d'ensembles non mesurables. Note de MM. W. 

 SiERPiNSKi et N. LusiN, présentée par M. Hadamard. 



Le but de celte Note est de démontrer l'existence d'une décomposition de 

 l'intervalle (o, i) en une infinité de puissance du continu d'ensembles sans 

 points communs deux à deux et tels que la mesure extérieure de chacun de ces 

 ensembles est égale à i. La démonstration de cette existence utilisera le 

 théorème de M. Zermelo, d'après lequel il existe un ensemble bien ordonné 

 de puissance du continu. 



Soit i2o le plus petit nombre transfini tel que l'ensemble de tous les 

 nombres transfinis a < ii„ ait la puissance du continu. Il existe donc un 

 ensemble bien ordonné du type ù^ 



( I ) J?!, a:.i, ^"j, ... 1 -Tm, . • • > .*'«> ■ • • ( of <. -"0 ) 



contenant une et une seule fois tout point x de l'intervalle (o, i). Or,. 

 l'ensemble de tous les ensembles parfaits contenus dans (o, i) ayant la 

 puissance du continu (et d'après c.c = c, c désignant la puissance du 

 continu), il existe un ensemble bien ordonné du type îî^ 



(2) P„ P,, P3, ..., P«, ■•., P», ••• («<iio) 



contenant tout ensemble parfait de l'intervalle (o, i) une infinité de puis- 

 sance du continu de fois. 



Prenons maintenant le premier point/), de la suite (i) contenu dans 

 l'ensemble P,, ensuite le premier point/)., de la suite (i) contenu dans P^ 

 et autre que yo,, puis le premier point p., de (i) contenu dans P., et autre 

 que /), et p^i et ainsi de suite Iransfiniment. Généralement, a étant un 

 nombre ordinal fini ou transfini donné <iil„y désignons par /)„ le premier 

 point de la suite (i) contenu dans P^ et autre que tous les points 



(3) /),, p,, ..., />„, ..., p5, ... {'i<o.). 



[On voit sans peine que, pour tout nombre a < 12,, un tel point />„ existe 

 dans Pa, puisque l'ensemble parfait Pa a la puissance du continu et (3) est 



