SÉANCE DU I" OCTOBRE I9I7. 4^3 



un ensemble du type a <; i2„, donc, d'après la définition du nombre Q„, de 

 puissance inférieure à celle du continu.] 



Nous avons donc ainsi défini un ensemble bien ordonné de points diffé- 

 rents de (o, i) 



(4) /'l. Ih, p. Pm: •■■, Pa («<",)) 



du tj^pe Q„. 



Soit maintenant P un ensemble parfait, situé dans (o, i). La suite (2) 

 contenant P une infinité de puissance du continu de fois, l'ensemble des 

 indices successifs a satisfaisant à la condition P„= P sera évidemment du 

 type ûj. Soient 



y-u y-i, «3, — «w, ••■, «[i, ■■■ (?><^-i,) 



ces indices et posons 



P^, — <]\i{^') ( poi' i\3 < iio ) • 



A tout ensemble parfait P de ( o, i) correspondra donc un ensemble bien 

 ordonné de points différents 



(5) f/,(P). 7,(P), .... r/,„(P), ..., 7^(P), ... ((3<i2„) 



du type Qg ; l'ensemble (5) sera évidemment sous-ensemble de P et aux 

 ensembles P inégaux correspondront toujours des ensembles (5) sans 

 point commun. 



Posons maintenant, pour tout nombre donné p <^ Qo, 



la sommation s'étendant à tous les ensembles parfaits de (o, i). 



On voit sans peine que les ensembles Qp et Qp- seront sans points com- 

 muns pour p 7^ [i' et que tout ensemble Q,. contiendra au moins un point 

 de tout ensemble parfait de (o, i). 



Or on démontre sans peine que tout ensemble situé dans (o, i) et conte- 

 nant au moins un point de tout ensemble parfait de (o, i) a la mesure exté- 

 rieure (lebesguienne) égale à l'unité. [Soit en effet £ un tel ensemble : si la 

 mesure extérieure de C était << i, on pourrait enfermer (au sens étroit) il 

 dans une infinité dénombrable d'intervalles dont la somme des longueurs 

 est < I : les points de (o, i) non intérieurs à aucun de ces intervalles forme- 

 raient donc un ensemble fermé de mesure positive, donc contenant un 



