SÉANCE DU 8 OCTOBRE 1917. ' 4^1 



es/ 1(1 série de Fourier d'une fonction qui est une intégrale de Lebesgue dans 

 un intervalle a <^ iC <^ P . 



La dérivée de cette intégrale, définie presque partout dans a<^a"<[P, 

 est aille fonction associée à la série restreinte de Fourier. 



Traitées par les moyennes de Cesàro d'indice i, ces séries se comportent 

 dans Tintcrvalle a •< ^r <[ [3 exactement comme les séries de Fourier. 



2. H est facile de voir que les séries trigonométriques qui vérifient les 



deux conditions : 1° 



lira a,j= lim 6„ =z o; 



2" la série intégrée converge vers une intégrale de Lebesgue, 



dans l'intervalle a<j7<[3, rentrent dans la classe considérée au para- 

 graphe 1. Je les distingue comme séries restreintes de Fourier ordinaires, ou, 

 pour abréger, séries R. F., et je note symboliquement 



f{j:) =:^ {^,1 cosnx -h /v,^ sin // ,r ) (a < .i^ < (3). 



3. Les séries R. F. forment une classe de séries trigonométriques qui 

 contient les séries de Fourier comme cas particulier; elles présentent dans 

 l'intervalle a<x<p la plupart des traits qui caractérisent ces dernières 

 dans l'intervalle (— u, ■::). Le théorème fondamental de la théorie des 

 séries R. F. est le suivant : 



TmiORÈME. — Les limites supérieure et inférieure d' indétermination d'une 

 série R. F. pour une valeur déterminée de x comprise entre a. cl ^ ne dépendent 

 qur de l'allure de la fonction associée f dans le voisinage de cette valeur de x. 



En conséquence, au point considéré, une série R. F. converge dans les 

 mêmes conditions que si elle était une série de Fourier. Mais ce n'est pas 

 tout. Non seulement la fonction 



d 

 d. 



— / [F{x -H m) 4- F(.r — «)] sin f « -1 \ u co-idc -it du 



tend vers zéro au point considéré quand n croît indéfiniment, propriété qui 

 seule est essentielle dans la démonstration du théorème, mais encore elle 



