SÉANCE DU l5 OCTOBRE 1917. 497 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Les fondions ahéliennes non singulières à 

 muUiplicai ion complexe. Noie de M. G. Scorza, présentée par M. G. 

 Humberl. 



On sait, d'après un théorème classique de M. Hutîibert, que si une 

 fonction abélienne à deux variables indépendantes est à multiplication 

 complexe, il y a entre ses périodes une relation singulière (au moins); 

 tandis qu'une fonction elliptique, qui est toujours non singulière, peut bien 

 être à multiplication complexe. 



Il y a lieu alors à poser cette intéressante question : 



Une fonction ahèliennc non singulière à p variables indépendantes (p"^ 2) 

 peut-elle être à multiplication complexe? 



La réponse, affirmative, est donnée par les propositions suivantes, aux- 

 quelles je suis arrivé par les études ultérieures accomplies sur la théorie 

 générale des matrices de Riemann. 



Soity(;i,, «2, ..., M^,), (/>> 2), une fonction abélienne non singulière et 

 à multiplication complexe. Alors : 



I. L'équation caractéristique de toute substitution linéaire homogène S sur 

 les variables uj, qui répond à une multiplication complexe def, est à diviseurs 

 élémentaires linéaires et ses racines distinctes sont deux et deux seuls nombres 

 quadratiques imaginaires conjugués. 



Si tes ordres de multiplicité de ces racines sont tetp — t, l'entier t dépend de f 

 et non pas de la substitution S. 



II. Les tableaux de toutes les substitutions linéaires, qui répondent aux 

 multiplications complexes def, sont des combinaisons linéaires homogènes à 

 coefficients entiers : ( a) </e deux, ou ( ^ ) c?e quatre tableaux linéairement indé- 

 pendants. 



III. Le cas II (a) peut se présenter quelle que soit la valeur de p ('^ 2), e 

 alors (t, p — t) peut être une partition quelconque de V entier p en deux 

 entiers positif s ; le cas II ( ^) peut se présenter seulement si p est pair (^ 2), ei 



alors on a nécessairement l =p — 1 ^ ~p. 



Le théorème I est une conséquence des propriétés des systèmes linéaires 

 de substitutions linéaires homogènes qui contiennent la substitution iden- 



& R., 1917, 2- Semestre. (T. 165, N° 16.) 66 



