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tujue el qui changent en elle-même, à des facteurs près, une forme hermi- 

 lienne définie. 



Le théorème H dérive de I moyennant la proposition classique de Fro- 

 henius qui caractérise les systèmes des nombres complexes ordinaires el des 

 qiialernions entre les systèmes de nombres complexes à plusieurs unités. 



Enfin le théorème III, d'après un examen approfondi de celles que 

 j'appelle formes hermiticnnes d'une matrice de Ricmann^ peut être démontré 

 de façon à assigner en même temps une conslruction de tous 1rs tableaux de 

 périodes qui répondent à des fonctions abèliennes non singulières à multi- 

 plication complexe. 



ANALYSE MATHFMATIQUE. — Suruue propriété du continu. Note de MM. ]\. 

 LusiN et W. SiERPi.NftKi, présentée par M. Hadamard. 



1. Théorème. — Si le continu est décomposé en une somme de deux 

 ensembles, un au moins de ces ensembles a la puissance du continu. 



Démonstration. — Soient M, et Mj deux ensembles dont la somme M est 

 un ensemble ayant la puissance du continu. L'ensemble M peut être, comme 

 l'on sait, mis en correspondance biunivoque avec l'ensemble P de tous les 

 points d'un carré K : soient P, et Pa les sous-ensembles de P qui corres- 

 pondront respectivement à M, et Mj. Décomposons le carré K en continu 

 de segments parallèles. Si, entre ces segments, il en est un dont tous les 

 points appartiennent à l'ensemble P,, ce dernier contiendra évidemment un 

 sous-ensemblc de puissance du continu. Si un tel segment n'existe pas, cela 

 signifie que chacun de nos segments (dont l'ensemble a la puissance du 

 continu) contient au moins un point de l'ensemble Pj : en choisissant sur 

 chacun de nos segments un point de l'ensemble P,, nous aurons un 

 ensemble de puissance du continu qui sera sous-ensemble de l'ensemble P^. 

 Donc un au moins des ensembles P, et P^ contient un sous-ensemble de 

 puissance du continu, d'où résulte sans peine notre théorème ('). 



2. En modifiant légèrement le raisonnement précédent, on obtient une 

 démonstration du théorème très remarquable de Kônig : 



La puissance du continu n est pas i^„, 



aussi claire que l'est la démonstration du théorème classique de Cantor: 



La puissance du continu n'est pas So- 



{ ' ) Cf. lii Noie de W. SierpiliJ^ki dans les Comptes rendus de la Société des Sciences 

 de Varsovie, l. 4, 191 1, p. 55. ^ 



