SÉANCE DU l5 OCTOBRE I917. 499 



II suffira évidemment de démontrer que le segment (o, i) n'est pas une 

 somme E, + E2-I-.-.+ E„ + ... d'une infinité dénombrable d'ensembles, 

 dont les puissances sont inférieures à celle du continu. 



Faisons une décomposition du segment (o, i) en une famille F ayant la 

 puissance du continu d'ensembles parfaits, sans point commun deux 

 à deux ('). La puissance de E, étant inférieure à celle du continu, il existe 

 dans la famille F un ensemble parfait P , qui ne contient aucun point de E , . 

 De même, une décomposition de l'ensemble parfait P, en une famille F, 

 ayant la puissance du continu d'ensembles parfaits, sans point commun 

 deux à deux, conduit à un ensemble parfait Po contenu dans P, et qui ne 

 contient aucun point de E,. En continuant, on obtient successivement 



(o, I)>P,>P2>P3>...>P„>.... 



Les P sont des ensembles parfaits; l'ensemble P„ne contient aucun point 

 de E,, Ej, E3, .. ., E„. 



Nous en conclurons qu'il existe des points qui font partie de P„, quel 

 que soit n; ce sont les points du segment (o, i) qui ne font partie d'aucun 

 des ensembles E„, quel que soit «, ce qui est contradictoire avec le fait que 

 le segment (o, i) est la somme E, -f- Ej -t- E3 -h 



Ainsi l'hypothèse f^ = ïî^ conduit à une contradiction. 



Observons que le théorème de Kônig peut être démontré sans l'axiome 

 du choix, puisque la supposition qu'il est faux (c'est-à-dire la supposition 

 que c = 5<j^) justifie tous les choix qui interviennent dans notre démon- 

 stration (comme choix dans des ensembles bien ordonnés). 



3. Nous donnerons encore une autre démonstration des théorèmes des 

 n"^ 1 et 2. 



Soient M, et M.j deux ensembles dont la somme M est un ensemble 

 de puissance du continu. D'après le théorème connu de Cantor (qui se 

 démontre sans l'axiome du choix), on peut mettre l'ensemble M en une 

 correspondance biunivoque avec l'ensemble P de tous les points d'un 

 carré K : soient P, et P^ les sous-ensembles de P qui correspondront res- 

 pectivement aux sous-ensembles M, et Mj de M. Admettons que les puis- 

 sances des ensembles M, et IVL sont toutes deux inférieures à celle du con- 

 tinu : les puissances des ensembles P, et P^ le seront donc aussi. 



Désignons par X, l'ensemble d'abscisses de tous les points de P, (les 



(') Il suffit, pour cela, d'employer une courbe de Peano. 



