5oO ACADÉMIE LES SCIENCES. 



axes des coordonnées étant parallèles aux côtés du carré K) et par 

 Y„ l'ensemble d'ordonnées de tous les points de P2. Les ensembles X, 

 et Yj, comme projections respectives des ensembles P, et Pj, auront des 

 puissances respectives non supérieures à celles de ces ensembles, donc infé- 

 rieures à celle du continu. Or l'ensemble X d'abscisses de tous les points de 

 l'ensemble P (comme l'ensemble d'abscisses de tous les points d'un carré) 

 a évidemment la puissance du continu : donc, l'ensemble X, ayant une 

 puissance inférieure à celle du continu, nous en concluons qu'il existe 

 une abscisse x^ appartenant à l'ensemble X, mais pas à X,. De même 

 nous concluons qu'il existe dans l'ensemble \ d'ordonnées de tous les 

 points de P une Vj qui n'appartient pas à ¥„. Le point (a:;,,, jo) appar- 

 tiendra évidemment à l'ensemble P, mais il ne peut pas appartenir ni à P, 

 ni à P2, puisqu'il diffère de tout point de P, par son abscisse et de tout 

 point de P^ par son ordonnée. Donc nous avons une contradiction, puisque 

 P = P, -I- P,. Donc les ensembles M, et Mo ne peuvent pas avoir tous les 

 deux des puissances inférieures à celle du continu. Or, les ensembles M, 

 et Mo, comme sous-ensembles de M, ont des puissances non supérieures à 

 celle du continu. Il s'ensuit, d'après le théorème de Cantor-Bernstein 

 (Aequivalenzsatz) (qui se démontre sans l'axiome du choix), qu'un au 

 moins des ensembles M, et Mj a la puissance du continu, ce qui démontre 

 le théorème du n" 1. 



Remarquons que cette démonstration s'applique aussi pour la décompo- 

 sition du continu en une infinité dénombrable d'ensembles, car on peut 

 aussi mettre l'espace à une infinité dénombrable de dimensions en corres- 

 pondance biunivoque avec l'espace à une dimension. Il en résulte une 

 nouvelle démonstration du théorème de Konig. 



Remarquons que notre démonstralion s'appuie sur l'axiome du clioix. En efîel, 

 nous avons utilisé dans notre démonstration la proposition f|u'une projection d'un 

 ensemble de points a toujours ta puissance non supérieure à celte de l'ensemble qu'on 

 projette, proposition qu'on ne sait pas démontrei- autrement qu'en choisissant pour 

 tout point de la projection un point de l'ensemble projeté. 



Observons que le théorème du n" 1 est équivalent au suivant : « Si un ensemble M 

 de puissance du continu est situé dans un intervalle d et si d est divisé en deux inter- 

 valles (i| et d.^, un au moins d'entre eux contient un sons-ensemble de M de puissance 

 du continu. » 



