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dans la forme to, C désignant une constante quelconque, on obtient 

 une nQuveU.e,. forme w, à n — i variables seulement, qui est au plus de 

 classe c—i, mais qui peut être de classe inférieure à c— i. En général, 

 si w, est de classe c — r (r^o), nous dirons que l'intégrale f-—.x\ du 

 système S est de rang r. Si m est une forme linéaire, le système S corres- 

 pondant admet des intégrales de rang un et des intégrales de rang deux. 

 Les méthodes de réduction les plus simples d'une expression de Pfaff 

 à une forme canonique reviennent au fond à déterminer une intégrale de 

 rang deuop pour la forme donnée et pour chacune des formes qu'on en 

 déduit successivement par Uapplication de la transformation précédente. 

 Pour étendre ces méthodes à une forme w de degré supérieur à i, il fallait 

 d'abord savoir reconnaître a priori si le système S correspondant à une 

 forme donnée admet des intégrales de rang supérieur à i, et en particulier 

 trouver le i'àng des intégrales dont le rang est maximum. Le théorème 

 suivant fournit la réponse à cette question : 



. Pour que /(.c,, cCj, .. ., x^) soit une intégrale de rang r du système S qui 

 correspond à une forme symbolique co de classe c, il faut et il suffit que le 

 produit symbolique o) df soit de classe c — 7* + i . 



En écrivant que le système 2, correspondant à ce produit'symbolique (s^df, 

 ne contient que a — r + i équations linéairement distinctes, on obtient un 

 ou plusieurs systèmes d'équations aux dérivées partielles du premier ordre ^ 

 qui devront être compatibles. Il est clair qu'on pourra trouver de cette 

 façon le rang des intégrales dont le rang est maximum. Par exemple, pour 

 la forme symbolique du troisième degré co = dx^ dx., dx^ + dxj, dx.^ dx,^, il 

 y a deux familles d'intégrales de rang trois, f{x,, x.,, x^) etcp(a;,, x^, a^g), 

 les fonctions/et ^ étant arbitraires. 



Ayant déterminé une intégrale de rang /•>> i du système IS, on a expliqué 

 plus haut comment on pourrait déduire de la forme w une nouvelle forme w, 

 de classe c — /•; les intégrales du système correspondant 2,, d'ordre c — r, 

 sont aussi des intégrales du système S. On pourra recommencer la même 

 opération sur 1q forme w,, et ainsi de suite. Les différents cas qui peuvent 

 se présenter sont beaucoup plus nombreux, que pour une forme linéaire, et 

 seront l'objet d'un Mémoire plus étendu. 



