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séries Oa[3 (les séries cycliques déterminées par le triple Oap) situées sur 

 les médianes AO et OC contiennent des triples ayant un couple commun; 

 par contre toutes les séries Oa^ situées k l'inférieur du triangle AOB, mais 

 non sur la médiane OC', peuvent servir à former des systèmes de triples 

 cycliques; (b) si Ton remplace une des n séries Oa^ d'un système cyclique 

 par une autre série équidistante verticalement de la médiane OC, on obtient 

 encore un système cyclique. J'appelle conjuguées deux séries équidistantes 

 de OC et systèmes conjugués deux systèmes de triples dont toutes les séries 

 sont respectivement conjuguées. Une série cyclique se transforme en sa 

 conjuguée par la substitution \x, N — .r]; par suite : 



Les systèmes cycliques de triples de Steiner vont par couples ; les deux systèmes 

 d\in même couple n'ont aucun triple commun, mais sont éguii'alents et se 

 transforment l'un dans l'autre par la substitution |ar-, N — a*] (" ). 



On peut donc, dans la recherche des systèmes cycliques différents, se 

 limiter à l'étude des séries antérieures au triangle AOC, avec faculté de 

 remplacer dans chaque système une ou plusieurs de ses séries, mais non 

 toutes, par les conjuguées. En ramenant au problème de Hefflor ('-) la 

 recherche des systèmes cycliques du triangle AOC, on a un procédé rapide 

 permettant d'obtenir systématiquement tous ces systèmes. 



2. Un système de triples formé au moyen des séries dn [triangle AOC 

 fournit 2""' systèmes cycliques qui peuvent être différents. Une classe 

 particulière de substitutions, les substitutions métacycliques , aide à réduire 

 considérablement le nombre de ces systèmes éventuellement différents. 



L'emploi méthodique de ces substitutions et de quelques théorèmes 

 nouveaux ( ') relatifs à leur effet sur les séries ou systèmes cycliques permet 

 de grouper l'ensemble des systèmes cycliques en classes de systèmes équiva- 

 lents (par une substitution métacyclique). 



Il suffit alors de reconnaître si les systèmes de deux classes différentes 

 sont différents ou non. Le procédé des trains de White (*), dont je me suis 



(') 11. S. Wliile ( Trans. of the A. M. 5., t. IV, igiS, p. i3) ;i remarqué le cas 

 particulier du théorème pour N = i3. 



(^) Math. Annalen, t. i9, 1897, p. 101, ou Netto, Combiiiatori/c, p. 22/1. 



(^) Rn particulier le théorème donné par H. S. While {toc. cil.) et qu'il énonce 

 ainsi : Triple-sysleins of the Netto type on i3 éléments occiir in pairs, the two of a 

 pair havinff the sarne group, but having no triadin roninion, est entièrement établi 

 pour un système cyclitjue quelconque. 



(*) Loc. cit. 



