SÉANCE DU 5 NOVEMBRE 1917. ^25 



sommes donc conduits à résoudre l'équation fonctionnelle 



(I) lL-j(,).i,,_<)-+-.l,(,)ç;(_<)|^(,_Zn", 



où z>(t) désigne une fonction entière à coefficients complexes de la variable 

 réel/e l et où '^(^t) désigne la fonction conjus^uêe de ^{f). 



2. La résolution de l'équation fonctionnelle (I) résulte immédiatement 

 de la proposition suivante : 



Si On{t) est la solution la plus générale de degré n de l'équation (I), celle de 

 degré (n -^ j) est définie par F équation 



(3) o„^,{t)z=\r>„{t) + fi,„{t)]e'^.. ■(a„ = C0MSt.). 



Cette relation de récurrence permet de calculer successivement les 

 termes de la suite (o,. 9., ..., o,„ ...). Il suffit de remarquer que 



3. Si, pour la symétrie, on pose 



<, = <„ = .. .= /„= ^ 

 la relation (3) devient 



(4) ?«+i{0 = [?«(OH-««'^«(0]e''^" 



et fait correspondre à la fonction cherchée une fonction de n variables indé- 

 pendantes /,, ..., /„, définie par la relation de récurrence (4). Cette fonc- 

 tion o„(/ ) a la forme 



9„ ( -- - f''- '';' i'> ■ ■ • t'n" (/},„^o ou p,„=i), 



to étant une fonction linéaire des paramètres 7.„, a,, . . ., a„. 



On peut obtenir l'expression générale de o„(t) en remarquant qu'elle se 

 déduit immédiatement de la fonction correspondante 



v„{')^i'.>i';'t7 ■■■<':;■■ 



La relation de récurrence pour cette dernière est 



l'„^,= (i — <„)F„ + a„(i -t- «,) (I -r- <,)... (I + /„), 

 d'où 



|-„= a„ {, — (,){> — t,)...{l-tn) 

 — 3!, (l -^lt)[l — /,) . . .(1 — In) 



-+- Cf.„_, ( 1 -H i| ) ( I -H /, I . . . U — <„-i ) ( 1 — ^, 

 -~y.„ {,-H<,)(i-f-^-| {i-i- t„). 



C. R., 1917, 5- Semestre. (T. 165, N» 19.) ^'^ 



