SÉANCE DU 12 NOVEMBRE I917. ^^9 



THÉORIE DES FONCTIONS. — Les fonctions prolongcables. 

 Note de M. Maurice Frécuet. 



Dans un article récent ('), M. Georg Polya a cherché à Ipréciser le sens 

 qu'il faut attacher à cette proposition bien connue : une série entière n'est 

 pas, en général, prolongeable au delà de son cercle de convergence. 



Autrement dit, parmi les fonctions holomorphes dans le même cercle de 

 convergence C, l'ensemble E de celles qui ne sont pas prolongeables au delà 

 de C est plus vaste que l'ensemble e de celles qui le sont. 



Le sens de cette assertion ne peut être éclairci par la comparaison des 

 puissances des ensembles E, e : ceux-ci ont tous deux la puissance du 

 continu. M. Polya fait alors intervenir la notion d'élément-limite d'un 

 ensemble de fonctions ayant C pour cercle de convergence. Il montre 

 qu'en définissant les éléments-limites (ou d'accumulation) au moyen de 

 voisinages convenablement choisis, on peut obtenir les propositions sui- 

 vantes : 



L'ensemble K est partout dense et n'a que des éléments intérieurs. 

 L'ensemble e n'a que des éléments isolés. 



Ces propositions sont très intéressantes et méritent d'être retenues. Mais 

 font-elles réellement toute la lumière sur l'obscurité initiale? Nous en 

 doutons, car un raisonnement très simple va nous montrer qu'en choisis- 

 sant d'une certaine autre façon la définition des éléments d'accumulation, 

 on arrive à des conclusions dont l'énoncé constitue le contre-pied de celui de 

 M. Pôlya. 



En effet, les deux ensembles E, e ayant la puissance du continu, faisons 

 correspondre les éléments de E aux points d'une droite indéfinie D et les 

 éléments de c aux points, non sur D, d'un plan P passant par D. Puis dans 

 la classe E -1- e des fonctions dont le cercle de convergence est C, appelons 

 distance de deux de ces fonctions la distance des deux points correspondants 

 du plan P. En définissant alors les éléments-limites par l'intermédiaire de la 

 distance comme d'ordinaire, on obtiendra deux propositions qui seront 

 celles de M. Polya où l'on aurait permuté E et e. 



Bien entendu, M. Polya objectera que la définition des éléments-limites 



(') Ueber (lie Potenzreilien deren Koin'ergenzl.rcis natiirlic/ie Grenze ht {Ida 

 mathcincUica^ lîand, il, p. gg-118). 



